Cálculo Exemplos

$f (x) = 13 x^{4} - 78 x^{2}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $13 x^{4} - 78 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [13 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [13 x^{4}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $13$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $13 x^{4}$ em relação a $x$ é $13 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$13 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$13 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $4$ por $13$ .

$52 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 78 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $- 78$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 78 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$52 x^{3} - 78 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$52 x^{3} - 78 (2 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 78$ .

$f' (x) = 52 x^{3} - 156 x$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $52 x^{3} - 156 x$ .

$52 x^{3} - 156 x$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $52 x^{3} - 156 x = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$52 x^{3} - 156 x = 0$

Etapa 2.2

Fatore $52 x$ de $52 x^{3} - 156 x$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $52 x$ de $52 x^{3}$ .

$52 x (x^{2}) - 156 x = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore $52 x$ de $- 156 x$ .

$52 x (x^{2}) + 52 x (- 3) = 0$

Etapa 2.2.3

Fatore $52 x$ de $52 x (x^{2}) + 52 x (- 3)$ .

$52 x (x^{2} - 3) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 2.5

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x^{2} - 3$ como igual a $0$ .

$x^{2} - 3 = 0$

Etapa 2.5.2

Resolva $x^{2} - 3 = 0$ para $x$ .

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Etapa 2.5.2.1

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x^{2} = 3$

Etapa 2.5.2.2

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{3}$

Etapa 2.5.2.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 2.5.2.3.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \sqrt{3}$

Etapa 2.5.2.3.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \sqrt{3}$

Etapa 2.5.2.3.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $52 x (x^{2} - 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, \sqrt{3}, - \sqrt{3}$

Etapa 3

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 3.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 4

Avalie $13 x^{4} - 78 x^{2}$ em cada valor $x$ em que a derivada é $0$ ou indefinida.

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Etapa 4.1

Avalie em $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua $0$ por $x$ .

$13 {(0)}^{4} - 78 {(0)}^{2}$

Etapa 4.1.2

Simplifique.

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Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$13 \cdot 0 - 78 {(0)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.2

Multiplique $13$ por $0$ .

$0 - 78 {(0)}^{2}$

Etapa 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$0 - 78 \cdot 0$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 78$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 4.1.2.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 4.2

Avalie em $x = \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Substitua $\sqrt{3}$ por $x$ .

$13 {(\sqrt{3})}^{4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$13 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$13 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.1.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.4.2.2

Cancele o fator comum.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.4.2.3

Reescreva a expressão.

$13 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.1.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$13 \cdot 3^{2} - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.2

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$13 \cdot 9 - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.3

Multiplique $13$ por $9$ .

$117 - 78 {(\sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$117 - 78 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 4.2.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 4.2.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 4.2.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1.4.4.1

Cancele o fator comum.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 4.2.2.1.4.4.2

Reescreva a expressão.

$117 - 78 \cdot 3^{1}$

Etapa 4.2.2.1.4.5

Avalie o expoente.

$117 - 78 \cdot 3$

Etapa 4.2.2.1.5

Multiplique $- 78$ por $3$ .

$117 - 234$

Etapa 4.2.2.2

Subtraia $234$ de $117$ .

$- 117$

Etapa 4.3

Avalie em $x = - \sqrt{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Substitua $- \sqrt{3}$ por $x$ .

$13 {(- \sqrt{3})}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$13 ({(- 1)}^{4} {\sqrt{3}}^{4}) - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $4$ .

$13 (1 {\sqrt{3}}^{4}) - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.3

Multiplique ${\sqrt{3}}^{4}$ por $1$ .

$13 {\sqrt{3}}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4

Reescreva ${\sqrt{3}}^{4}$ como $3^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$13 {(3^{\frac{1}{2}})}^{4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$13 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 4} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{4}{2}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.4

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.4.1

Fatore $2$ de $4$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.4.4.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 (1)}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.4.2.2

Cancele o fator comum.

$13 \cdot 3^{\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.4.2.3

Reescreva a expressão.

$13 \cdot 3^{\frac{2}{1}} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.4.4.2.4

Divida $2$ por $1$ .

$13 \cdot 3^{2} - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.5

Eleve $3$ à potência de $2$ .

$13 \cdot 9 - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.6

Multiplique $13$ por $9$ .

$117 - 78 {(- \sqrt{3})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.7

Aplique a regra do produto a $- \sqrt{3}$ .

$117 - 78 ({(- 1)}^{2} {\sqrt{3}}^{2})$

Etapa 4.3.2.1.8

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$117 - 78 (1 {\sqrt{3}}^{2})$

Etapa 4.3.2.1.9

Multiplique ${\sqrt{3}}^{2}$ por $1$ .

$117 - 78 {\sqrt{3}}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.10

Reescreva ${\sqrt{3}}^{2}$ como $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{3}$ como $3^{\frac{1}{2}}$ .

$117 - 78 {(3^{\frac{1}{2}})}^{2}$

Etapa 4.3.2.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{1}{2} \cdot 2}$

Etapa 4.3.2.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 4.3.2.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$117 - 78 \cdot 3^{\frac{2}{2}}$

Etapa 4.3.2.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$117 - 78 \cdot 3^{1}$

Etapa 4.3.2.1.10.5

Avalie o expoente.

$117 - 78 \cdot 3$

Etapa 4.3.2.1.11

Multiplique $- 78$ por $3$ .

$117 - 234$

Etapa 4.3.2.2

Subtraia $234$ de $117$ .

$- 117$

Etapa 4.4

Liste todos os pontos.

$(0, 0), (\sqrt{3}, - 117), (- \sqrt{3}, - 117)$

Etapa 5