Cálculo Exemplos

$f (x) = 2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 3 x^{2} - 72 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Etapa 1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Etapa 1.1.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x + \frac{d}{d x} (- 72 x)$

Etapa 1.1.4

Avalie $\frac{d}{d x} [- 72 x]$ .

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Etapa 1.1.4.1

Como $- 72$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 72 x$ em relação a $x$ é $- 72 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72 \frac{d}{d x} x$

Etapa 1.1.4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72 \cdot 1$

Etapa 1.1.4.3

Multiplique $- 72$ por $1$ .

$f' (x) = 6 x^{2} + 6 x - 72$

Etapa 1.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} + 6 x - 72$ .

$6 x^{2} + 6 x - 72$

Etapa 2

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$ .

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Etapa 2.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} + 6 x - 72 = 0$

Etapa 2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.2.1

Fatore $6$ de $6 x^{2} + 6 x - 72$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $6$ de $6 x^{2}$ .

$6 (x^{2}) + 6 x - 72 = 0$

Etapa 2.2.1.2

Fatore $6$ de $6 x$ .

$6 (x^{2}) + 6 (x) - 72 = 0$

Etapa 2.2.1.3

Fatore $6$ de $- 72$ .

$6 (x^{2}) + 6 x + 6 \cdot - 12 = 0$

Etapa 2.2.1.4

Fatore $6$ de $6 (x^{2}) + 6 x$ .

$6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 12 = 0$

Etapa 2.2.1.5

Fatore $6$ de $6 (x^{2} + x) + 6 \cdot - 12$ .

$6 (x^{2} + x - 12) = 0$

Etapa 2.2.2

Fatore.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $x^{2} + x - 12$ usando o método AC.

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Etapa 2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $1$ .

$- 3, 4$

Etapa 2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$6 ((x - 3) (x + 4)) = 0$

Etapa 2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$6 (x - 3) (x + 4) = 0$

Etapa 2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

$x + 4 = 0$

Etapa 2.4

Defina $x - 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.4.1

Defina $x - 3$ como igual a $0$ .

$x - 3 = 0$

Etapa 2.4.2

Some $3$ aos dois lados da equação.

$x = 3$

Etapa 2.5

Defina $x + 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 2.5.1

Defina $x + 4$ como igual a $0$ .

$x + 4 = 0$

Etapa 2.5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$x = - 4$

Etapa 2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 (x - 3) (x + 4) = 0$ verdadeiro.

$x = 3, - 4$

Etapa 3

Os valores, que tornam a derivada igual a $0$ , são $3, - 4$ .

$3, - 4$

Etapa 4

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, - 4) \cup (- 4, 3) \cup (3, \infty)$

Etapa 5

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, - 4)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 5$ na expressão.

$f' (- 5) = 6 {(- 5)}^{2} + 6 (- 5) - 72$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 5$ à potência de $2$ .

$f' (- 5) = 6 \cdot 25 + 6 (- 5) - 72$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $6$ por $25$ .

$f' (- 5) = 150 + 6 (- 5) - 72$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $6$ por $- 5$ .

$f' (- 5) = 150 - 30 - 72$

Etapa 5.2.2

Simplifique subtraindo os números.

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Etapa 5.2.2.1

Subtraia $30$ de $150$ .

$f' (- 5) = 120 - 72$

Etapa 5.2.2.2

Subtraia $72$ de $120$ .

$f' (- 5) = 48$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 5.3

Em $x = - 5$ , a derivada é $48$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(- \infty, - 4)$ .

Acréscimo em $(- \infty, - 4)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- 4, 3)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{1}{2}$ na expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 {(- \frac{1}{2})}^{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

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Etapa 6.2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 ({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (1 (\frac{1^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{2^{2}}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 6 (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.6

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.6.1

Fatore $2$ de $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (3) (\frac{1}{4}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.6.2

Fatore $2$ de $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.6.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 \cdot (3 (\frac{1}{2 \cdot 2})) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.6.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = 3 (\frac{1}{2}) + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.7

Combine $3$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (- \frac{1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.8

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 6.2.1.8.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{1}{2}$ para o numerador.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 6 (\frac{- 1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.8.2

Fatore $2$ de $6$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 (3) (\frac{- 1}{2}) - 72$

Etapa 6.2.1.8.3

Cancele o fator comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 1}{2})) - 72$

Etapa 6.2.1.8.4

Reescreva a expressão.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + 3 \cdot - 1 - 72$

Etapa 6.2.1.9

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} - 3 - 72$

Etapa 6.2.2

Encontre o denominador comum.

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Etapa 6.2.2.1

Escreva $- 3$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} - 72$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3}{1} \cdot \frac{2}{2} - 72$

Etapa 6.2.2.3

Multiplique $\frac{- 3}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} - 72$

Etapa 6.2.2.4

Escreva $- 72$ como uma fração com denominador $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 72}{1}$

Etapa 6.2.2.5

Multiplique $\frac{- 72}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 72}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 6.2.2.6

Multiplique $\frac{- 72}{1}$ por $\frac{2}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3}{2} + \frac{- 3 \cdot 2}{2} + \frac{- 72 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 3 \cdot 2 - 72 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.2.4.1

Multiplique $- 3$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 72 \cdot 2}{2}$

Etapa 6.2.4.2

Multiplique $- 72$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{3 - 6 - 144}{2}$

Etapa 6.2.5

Simplifique a expressão.

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Etapa 6.2.5.1

Subtraia $6$ de $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 3 - 144}{2}$

Etapa 6.2.5.2

Subtraia $144$ de $- 3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 147}{2}$

Etapa 6.2.5.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$f' (- \frac{1}{2}) = - \frac{147}{2}$

Etapa 6.2.6

A resposta final é $- \frac{147}{2}$ .

$- \frac{147}{2}$

Etapa 6.3

Em $x = - \frac{1}{2}$ , a derivada é $- \frac{147}{2}$ . Por ser negativa, a função diminui em $(- 4, 3)$ .

Decréscimo em $(- 4, 3)$ , pois $f' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(3, \infty)$ na derivada para determinar se a função está aumentando ou diminuindo.

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Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 6 {(4)}^{2} + 6 (4) - 72$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 7.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 6 \cdot 16 + 6 (4) - 72$

Etapa 7.2.1.2

Multiplique $6$ por $16$ .

$f' (4) = 96 + 6 (4) - 72$

Etapa 7.2.1.3

Multiplique $6$ por $4$ .

$f' (4) = 96 + 24 - 72$

Etapa 7.2.2

Simplifique somando e subtraindo.

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Etapa 7.2.2.1

Some $96$ e $24$ .

$f' (4) = 120 - 72$

Etapa 7.2.2.2

Subtraia $72$ de $120$ .

$f' (4) = 48$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 7.3

Em $x = 4$ , a derivada é $48$ . Por ser positiva, a função aumenta em $(3, \infty)$ .

Acréscimo em $(3, \infty)$ , pois $f' (x) > 0$

Etapa 8

Liste os intervalos em que a função é crescente e decrescente.

Acréscimo em: $(- \infty, - 4), (3, \infty)$

Decréscimo em: $(- 4, 3)$

Etapa 9