Cálculo Exemplos

$y = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$

Etapa 1

Escreva $y = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ como uma função.

$f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 3 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 6 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.2.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 \frac{d}{d x} x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 6 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.1.2.3

Multiplique $2$ por $- 6$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x + \frac{d}{d x} (- 36 x)$

Etapa 2.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36 \frac{d}{d x} x$

Etapa 2.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36 \cdot 1$

Etapa 2.1.3.3

Multiplique $- 36$ por $1$ .

$f' (x) = 3 x^{2} - 12 x - 36$

Etapa 2.2

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $3 x^{2} - 12 x - 36$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [3 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 12 x] + \frac{d}{d x} [- 36]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Etapa 2.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x^{2}$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 3 \frac{d}{d x} (x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 3 (2 x) + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Etapa 2.2.2.3

Multiplique $2$ por $3$ .

$f'' (x) = 6 x + \frac{d}{d x} (- 12 x) + \frac{d}{d x} (- 36)$

Etapa 2.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.3.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x]$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \frac{d}{d x} x + \frac{d}{d x} (- 36)$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 \cdot 1 + \frac{d}{d x} (- 36)$

Etapa 2.2.3.3

Multiplique $- 12$ por $1$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + \frac{d}{d x} (- 36)$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.4.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36$ em relação a $x$ é $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12 + 0$

Etapa 2.2.4.2

Some $6 x - 12$ e $0$ .

$f'' (x) = 6 x - 12$

Etapa 2.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x - 12$ .

$6 x - 12$

Etapa 3

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x - 12 = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x - 12 = 0$

Etapa 3.2

Some $12$ aos dois lados da equação.

$6 x = 12$

Etapa 3.3

Divida cada termo em $6 x = 12$ por $6$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Divida cada termo em $6 x = 12$ por $6$ .

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Cancele o fator comum de $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{6 x}{6} = \frac{12}{6}$

Etapa 3.3.2.1.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{12}{6}$

Etapa 3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Divida $12$ por $6$ .

$x = 2$

Etapa 4

Encontre os pontos em que a segunda derivada é $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Substitua $2$ em $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ para encontrar o valor de $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f (2) = {(2)}^{3} - 6 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2$

Etapa 4.1.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$f (2) = 8 - 6 {(2)}^{2} - 36 \cdot 2$

Etapa 4.1.2.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (2) = 8 - 6 \cdot 4 - 36 \cdot 2$

Etapa 4.1.2.1.3

Multiplique $- 6$ por $4$ .

$f (2) = 8 - 24 - 36 \cdot 2$

Etapa 4.1.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $2$ .

$f (2) = 8 - 24 - 72$

Etapa 4.1.2.2

Simplifique subtraindo os números.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.2.1

Subtraia $24$ de $8$ .

$f (2) = - 16 - 72$

Etapa 4.1.2.2.2

Subtraia $72$ de $- 16$ .

$f (2) = - 88$

Etapa 4.1.2.3

A resposta final é $- 88$ .

$- 88$

Etapa 4.2

O ponto encontrado ao substituir $2$ em $f (x) = x^{3} - 6 x^{2} - 36 x$ é $(2, - 88)$ . Ele pode ser um ponto de inflexão.

$(2, - 88)$

Etapa 5

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos em torno dos pontos que poderiam ser pontos de inflexão.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

Etapa 6

Substitua um valor do intervalo $(- \infty, 2)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $1.9$ na expressão.

$f'' (1.9) = 6 (1.9) - 12$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1

Multiplique $6$ por $1.9$ .

$f'' (1.9) = 11.4 - 12$

Etapa 6.2.2

Subtraia $12$ de $11.4$ .

$f'' (1.9) = - 0.6$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $- 0.6$ .

$- 0.6$

Etapa 6.3

Em $1.9$ , a segunda derivada é $- 0.6$ . Por ser negativa, a segunda derivada diminui no intervalo $(- \infty, 2)$ .

Decréscimo em $(- \infty, 2)$ , pois $f'' (x) < 0$

Etapa 7

Substitua um valor do intervalo $(2, \infty)$ na segunda derivada para determinar se está aumentando ou diminuindo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Substitua a variável $x$ por $2.1$ na expressão.

$f'' (2.1) = 6 (2.1) - 12$

Etapa 7.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.2.1

Multiplique $6$ por $2.1$ .

$f'' (2.1) = 12.6 - 12$

Etapa 7.2.2

Subtraia $12$ de $12.6$ .

$f'' (2.1) = 0.6$

Etapa 7.2.3

A resposta final é $0.6$ .

$0.6$

Etapa 7.3

Em $2.1$ , a segunda derivada é $0.6$ . Por ser positiva, a segunda derivada aumenta no intervalo $(2, \infty)$ .

Acréscimo em $(2, \infty)$ , pois $f'' (x) > 0$

Etapa 8

O ponto de inflexão é um ponto em uma curva em que a concavidade muda do sinal de adição para o de subtração ou vice-versa. Neste caso, o ponto de inflexão é $(2, - 88)$ .

$(2, - 88)$

Etapa 9