Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$

Etapa 1

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Encontre a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{1}{2} x^{4} + 2 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}] + \frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\frac{1}{2} x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{1}{2} x^{4}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{1}{2} x^{4}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot \frac{d}{d x} (x^{4}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$f' (x) = \frac{1}{2} \cdot (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2.3

Combine $4$ e $\frac{1}{2}$ .

$f' (x) = \frac{4}{2} x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2.4

Combine $\frac{4}{2}$ e $x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{4 x^{3}}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2.5

Cancele o fator comum de $4$ e $2$ .

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Etapa 1.1.1.2.5.1

Fatore $2$ de $4 x^{3}$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2.5.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 1.1.1.2.5.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 (1)} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2.5.2.2

Cancele o fator comum.

$f' (x) = \frac{2 (2 x^{3})}{2 \cdot 1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2.5.2.3

Reescreva a expressão.

$f' (x) = \frac{2 x^{3}}{1} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Etapa 1.1.1.2.5.2.4

Divida $2 x^{3}$ por $1$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + \frac{d}{d x} (2 x^{3})$

Etapa 1.1.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 \frac{d}{d x} (x^{3})$

Etapa 1.1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 2 (3 x^{2})$

Etapa 1.1.1.3.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f' (x) = 2 x^{3} + 6 x^{2}$

Etapa 1.1.2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x^{3} + 6 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x^{3}] + \frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (2 x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x^{3}]$ .

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Etapa 1.1.2.2.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x^{3}$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 2 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 2 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Etapa 1.1.2.2.3

Multiplique $3$ por $2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + \frac{d}{d x} (6 x^{2})$

Etapa 1.1.2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [6 x^{2}]$ .

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Etapa 1.1.2.3.1

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x^{2}$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 \frac{d}{d x} (x^{2})$

Etapa 1.1.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 6 (2 x)$

Etapa 1.1.2.3.3

Multiplique $2$ por $6$ .

$f'' (x) = 6 x^{2} + 12 x$

Etapa 1.1.3

A segunda derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $6 x^{2} + 12 x$ .

$6 x^{2} + 12 x$

Etapa 1.2

Defina a segunda derivada como igual a $0$ e resolva a equação $6 x^{2} + 12 x = 0$ .

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Etapa 1.2.1

Defina a segunda derivada como igual a $0$ .

$6 x^{2} + 12 x = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore $6 x$ de $6 x^{2} + 12 x$ .

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Etapa 1.2.2.1

Fatore $6 x$ de $6 x^{2}$ .

$6 x (x) + 12 x = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore $6 x$ de $12 x$ .

$6 x (x) + 6 x (2) = 0$

Etapa 1.2.2.3

Fatore $6 x$ de $6 x (x) + 6 x (2)$ .

$6 x (x + 2) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$x + 2 = 0$

Etapa 1.2.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 2$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 2$ como igual a $0$ .

$x + 2 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $2$ dos dois lados da equação.

$x = - 2$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $6 x (x + 2) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, - 2$

Etapa 2

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Notação de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notação de construtor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Etapa 3

Crie intervalos em torno dos valores $x$ , em que a segunda derivada é zero ou indefinida.

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

Etapa 4

Substitua qualquer número do intervalo $(- \infty, - 2)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $- 4$ na expressão.

$f'' (- 4) = 6 {(- 4)}^{2} + 12 (- 4)$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1.1

Eleve $- 4$ à potência de $2$ .

$f'' (- 4) = 6 \cdot 16 + 12 (- 4)$

Etapa 4.2.1.2

Multiplique $6$ por $16$ .

$f'' (- 4) = 96 + 12 (- 4)$

Etapa 4.2.1.3

Multiplique $12$ por $- 4$ .

$f'' (- 4) = 96 - 48$

Etapa 4.2.2

Subtraia $48$ de $96$ .

$f'' (- 4) = 48$

Etapa 4.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 4.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(- \infty, - 2)$ porque $f'' (- 4)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 5

Substitua qualquer número do intervalo $(- 2, 0)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 5.1

Substitua a variável $x$ por $- 1$ na expressão.

$f'' (- 1) = 6 {(- 1)}^{2} + 12 (- 1)$

Etapa 5.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 5.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.1.1

Eleve $- 1$ à potência de $2$ .

$f'' (- 1) = 6 \cdot 1 + 12 (- 1)$

Etapa 5.2.1.2

Multiplique $6$ por $1$ .

$f'' (- 1) = 6 + 12 (- 1)$

Etapa 5.2.1.3

Multiplique $12$ por $- 1$ .

$f'' (- 1) = 6 - 12$

Etapa 5.2.2

Subtraia $12$ de $6$ .

$f'' (- 1) = - 6$

Etapa 5.2.3

A resposta final é $- 6$ .

$- 6$

Etapa 5.3

O gráfico tem concavidade para baixo no intervalo $(- 2, 0)$ porque $f'' (- 1)$ é negativo.

Concavidade para baixo em $(- 2, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Etapa 6

Substitua qualquer número do intervalo $(0, \infty)$ na segunda derivada e avalie para determinar a concavidade.

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Etapa 6.1

Substitua a variável $x$ por $2$ na expressão.

$f'' (2) = 6 {(2)}^{2} + 12 (2)$

Etapa 6.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 6.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f'' (2) = 6 \cdot 4 + 12 (2)$

Etapa 6.2.1.2

Multiplique $6$ por $4$ .

$f'' (2) = 24 + 12 (2)$

Etapa 6.2.1.3

Multiplique $12$ por $2$ .

$f'' (2) = 24 + 24$

Etapa 6.2.2

Some $24$ e $24$ .

$f'' (2) = 48$

Etapa 6.2.3

A resposta final é $48$ .

$48$

Etapa 6.3

O gráfico tem concavidade para cima no intervalo $(0, \infty)$ porque $f'' (2)$ é positivo.

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 7

O gráfico tem concavidade para baixo quando a segunda derivada é negativa e concavidade para cima quando a segunda derivada é positiva.

Concavidade para cima em $(- \infty, - 2)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Concavidade para baixo em $(- 2, 0)$ , já que $f'' (x)$ é negativo

Concavidade para cima em $(0, \infty)$ , já que $f'' (x)$ é positivo

Etapa 8