Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{2} \frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $u = \frac{1}{x}$ . Depois, $d u = - \frac{1}{x^{2}} d x$ , então, $- d u = \frac{1}{x^{2}} d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = \frac{1}{x}$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\frac{1}{x}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 1.1.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$- x^{- 2}$

Etapa 1.1.4

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{1}{x^{2}}$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $x$ em $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{lower} = \frac{1}{1}$

Etapa 1.3

Divida $1$ por $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $x$ em $u = \frac{1}{x}$ .

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.5

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = \frac{1}{2}$

Etapa 1.6

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{1}^{\frac{1}{2}} - e^{u} d u$

Etapa 2

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{1}^{\frac{1}{2}} e^{u} d u$

Etapa 3

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$- (e^{u}]_{1}^{\frac{1}{2}})$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $e^{u}$ em $\frac{1}{2}$ e em $1$ .

$- ((e^{\frac{1}{2}}) - e^{1})$

Etapa 4.2

Simplifique.

$- (e^{\frac{1}{2}} - e)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$- e^{\frac{1}{2}} - - e$

Etapa 5.2

Multiplique $- - e$ .

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + 1 e$

Etapa 5.2.2

Multiplique $e$ por $1$ .

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Etapa 6

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- e^{\frac{1}{2}} + e$

Forma decimal:

$1.06956055 \dots$

Etapa 7