Cálculo Exemplos

${(x^{2} + y^{2})}^{2} = 4 x^{2} y$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(x^{2} + y^{2})}^{2}) = \frac{d}{d x} (4 x^{2} y)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x^{2} + y^{2}$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + y^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 (x^{2} + y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Etapa 2.5

Simplifique.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$

Etapa 2.5.2

Reordene os fatores de $(2 x^{2} + 2 y^{2}) (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{2} y$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

$4 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$4 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (x^{2} y' + y (2 x))$

Etapa 3.5

Mova $2$ para a esquerda de $y$ .

$4 (x^{2} y' + 2 \cdot y x)$

Etapa 3.6

Simplifique.

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Etapa 3.6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$4 (x^{2} y') + 4 (2 y x)$

Etapa 3.6.2

Multiplique $2$ por $4$ .

$4 x^{2} y' + 8 y x$

Etapa 3.6.3

Reordene os termos.

$4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ .

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Etapa 5.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + (2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.2

Simplifique somando os zeros.

$(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.3

Expanda $(2 x + 2 y y') (2 x^{2} + 2 y^{2})$ usando o método FOIL.

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Etapa 5.1.3.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (2 x^{2} + 2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.3.2

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2} + 2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.3.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x (2 x^{2}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.1.4.1

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$2 \cdot 2 x \cdot x^{2} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.4.2.1

Mova $x^{2}$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.2.2

Multiplique $x^{2}$ por $x$ .

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Etapa 5.1.4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 \cdot 2 (x^{2} x^{1}) + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 \cdot 2 x^{2 + 1} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.2.3

Some $2$ e $1$ .

$2 \cdot 2 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 2 x (2 y^{2}) + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.4

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$4 x^{3} + 2 \cdot 2 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 2 y y' (2 x^{2}) + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.6

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y y' (2 y^{2}) = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.7

Multiplique $y$ por $y^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.1.4.7.1

Mova $y^{2}$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.7.2

Multiplique $y^{2}$ por $y$ .

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Etapa 5.1.4.7.2.1

Eleve $y$ à potência de $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 (y^{2} y^{1}) y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.7.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{2 + 1} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.7.3

Some $2$ e $1$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 2 y^{3} y' \cdot 2 = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.1.4.8

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' = 4 x^{2} y' + 8 x y$

Etapa 5.2

Subtraia $4 x^{2} y'$ dos dois lados da equação.

$4 x^{3} + 4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y$

Etapa 5.3

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.3.1

Subtraia $4 x^{3}$ dos dois lados da equação.

$4 x y^{2} + 4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3}$

Etapa 5.3.2

Subtraia $4 x y^{2}$ dos dois lados da equação.

$4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Etapa 5.4

Fatore $4 y'$ de $4 y y' x^{2} + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y'$ .

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Etapa 5.4.1

Fatore $4 y'$ de $4 y y' x^{2}$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y^{3} y' - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Etapa 5.4.2

Fatore $4 y'$ de $4 y^{3} y'$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} - 4 x^{2} y' = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Etapa 5.4.3

Fatore $4 y'$ de $- 4 x^{2} y'$ .

$4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3} + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Etapa 5.4.4

Fatore $4 y'$ de $4 y' (y x^{2}) + 4 y' y^{3}$ .

$4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Etapa 5.4.5

Fatore $4 y'$ de $4 y' (y x^{2} + y^{3}) + 4 y' (- x^{2})$ .

$4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ por $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2}) = 8 x y - 4 x^{3} - 4 x y^{2}$ por $4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})$ .

$\frac{4 y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.5.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.2.2

Cancele o fator comum de $y x^{2} + y^{3} - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Cancele o fator comum.

Etapa 5.5.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{8 x y}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.1

Cancele o fator comum de $8$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.1.1

Fatore $4$ de $8 x y$ .

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.3.1.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{4 (2 x y)}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.3.1.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x^{3}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.3.1.1.2

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.2.1

Fatore $4$ de $- 4 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.3.1.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x^{3})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.3.1.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.3.1.1.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- 4 x y^{2}}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.3.1.1.4

Cancele o fator comum de $- 4$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.4.1

Fatore $4$ de $- 4 x y^{2}$ .

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.3.1.1.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.1.4.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{4 (- x y^{2})}{4 (y x^{2} + y^{3} - x^{2})}$

Etapa 5.5.3.1.1.4.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} + \frac{- x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.1.1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = \frac{2 x y}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.1.2

Combine em uma fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.1.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x y - x^{3}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}} - \frac{x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.1.2.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{2 x y - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.1

Fatore $x$ de $2 x y - x^{3} - x y^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.3.2.1.1

Fatore $x$ de $2 x y$ .

$y' = \frac{x (2 y) - x^{3} - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.1.2

Fatore $x$ de $- x^{3}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) - x y^{2}}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.1.3

Fatore $x$ de $- x y^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y) + x (- x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.1.4

Fatore $x$ de $x (2 y) + x (- x^{2})$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.1.5

Fatore $x$ de $x (2 y - x^{2}) + x (- 1 y^{2})$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - 1 y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Etapa 5.5.3.2.2

Reescreva $- 1 y^{2}$ como $- y^{2}$ .

$y' = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x (2 y - x^{2} - y^{2})}{y x^{2} + y^{3} - x^{2}}$