Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{3} x^{2} \ln (x) d x$

Etapa 1

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{2}$ .

$\ln (x) (\frac{1}{3} x^{3})]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\ln (x) \frac{x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 2.2

Combine $\ln (x)$ e $\frac{x^{3}}{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \int_{1}^{3} \frac{1}{3} x^{3} \frac{1}{x} d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{3} \frac{1}{x} d x)$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $x^{3}$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{3}}{x} d x)$

Etapa 4.2

Cancele o fator comum de $x^{3}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x} d x)$

Etapa 4.2.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.2.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x^{1}} d x)$

Etapa 4.2.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x \cdot x^{2}}{x \cdot 1} d x)$

Etapa 4.2.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} \frac{x^{2}}{1} d x)$

Etapa 4.2.2.5

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - (\frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x)$

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \int_{1}^{3} x^{2} d x$

Etapa 5

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{\ln (x) x^{3}}{3}]_{1}^{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

Etapa 6

Substitua e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie $\frac{\ln (x) x^{3}}{3}$ em $3$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} \frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{3}$

Etapa 6.2

Avalie $\frac{1}{3} x^{3}$ em $3$ e em $1$ .

$(\frac{\ln (3) \cdot 3^{3}}{3}) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{\ln (3) \cdot 27}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.2

Mova $27$ para a esquerda de $\ln (3)$ .

$\frac{27 \cdot \ln (3)}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.3

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.1

Fatore $3$ de $27 \ln (3)$ .

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.3.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 (1)} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{3 (9 \ln (3))}{3 \cdot 1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{9 \ln (3)}{1} - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.3.2.4

Divida $9 \ln (3)$ por $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1^{3}}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.4

Um elevado a qualquer potência é um.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1) \cdot 1}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.5

Multiplique $\ln (1)$ por $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} ((\frac{1}{3} \cdot 3^{3}) - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.6

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{1}{3} \cdot 27 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.7

Combine $\frac{1}{3}$ e $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{27}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.8

Cancele o fator comum de $27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.8.1

Fatore $3$ de $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.3.8.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 (1)} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{3 \cdot 9}{3 \cdot 1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9}{1} - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.8.2.4

Divida $9$ por $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1^{3})$

Etapa 6.3.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3} \cdot 1)$

Etapa 6.3.10

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 - \frac{1}{3})$

Etapa 6.3.11

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (9 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1}{3})$

Etapa 6.3.12

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} (\frac{9 \cdot 3}{3} - \frac{1}{3})$

Etapa 6.3.13

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{9 \cdot 3 - 1}{3}$

Etapa 6.3.14

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.3.14.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{27 - 1}{3}$

Etapa 6.3.14.2

Subtraia $1$ de $27$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{1}{3} \cdot \frac{26}{3}$

Etapa 6.3.15

Multiplique $\frac{26}{3}$ por $\frac{1}{3}$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{3 \cdot 3}$

Etapa 6.3.16

Multiplique $3$ por $3$ .

$9 \ln (3) - \frac{\ln (1)}{3} - \frac{26}{9}$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$9 \ln (3) - \frac{0}{3} - \frac{26}{9}$

Etapa 7.1.2

Divida $0$ por $3$ .

$9 \ln (3) - 0 - \frac{26}{9}$

Etapa 7.1.3

Multiplique $- 1$ por $0$ .

$9 \ln (3) + 0 - \frac{26}{9}$

Etapa 7.2

Some $9 \ln (3)$ e $0$ .

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

Etapa 8

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$9 \ln (3) - \frac{26}{9}$

Forma decimal:

$6.99862170 \dots$