Cálculo Exemplos

$\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Reordene $e^{3 x}$ e $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{3 x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (2 x)$ e $d v = e^{3 x}$ .

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Etapa 3

Como $\frac{1}{3} \cdot - 2$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3} \cdot - 2$ para fora da integral.

$\cos (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Etapa 4

Combine frações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$\cos (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Etapa 4.2

Combine $\cos (2 x)$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot - 2 \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Etapa 4.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $- 2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int e^{3 x} (\sin (2 x)) d x)$

Etapa 4.4

Reordene $e^{3 x}$ e $\sin (2 x)$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} \int \sin (2 x) e^{3 x} d x)$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (2 x)$ e $d v = e^{3 x}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - \int \frac{1}{3} e^{3 x} (2 \cos (2 x)) d x))$

Etapa 6

Como $\frac{1}{3} \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{3} \cdot 2$ para fora da integral.

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) (\frac{1}{3} e^{3 x}) - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Etapa 7

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $e^{3 x}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\sin (2 x) \frac{e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Etapa 7.2

Combine $\sin (2 x)$ e $\frac{e^{3 x}}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 2 \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Etapa 7.3

Combine $\frac{1}{3}$ e $2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{- 2}{3} (\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)))$

Etapa 7.4

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} \cdot \frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Etapa 7.5

Multiplique $\frac{\sin (2 x) e^{3 x}}{3}$ por $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{3 \cdot 3} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Etapa 7.6

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.6.1

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} - \frac{- 2}{3} (- (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x))$

Etapa 7.6.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + 1 (\frac{- 2}{3}) (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

Etapa 7.6.3

Multiplique $\frac{- 2}{3}$ por $1$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 2}{3} (\frac{2}{3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x)$

Etapa 7.7

Multiplique $\frac{2}{3}$ por $\frac{- 2}{3}$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{2 \cdot - 2}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Etapa 7.8

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.8.1

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{3 \cdot 3} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Etapa 7.8.2

Multiplique $3$ por $3$ .

$\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9} + \frac{- 4}{9} \int e^{3 x} (\cos (2 x)) d x$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ , descobrimos que $\int e^{3 x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}}$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{\sin (2 x) e^{3 x} \cdot - 2}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Mova $- 2$ para a esquerda de $\sin (2 x) e^{3 x}$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - \frac{- 2 \cdot (\sin (2 x) e^{3 x})}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Etapa 9.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} - - \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + 1 \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Etapa 9.1.4

Multiplique $\frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}$ por $1$ .

$\frac{\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}}{\frac{13}{9}} + C$

Etapa 9.1.5

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{13}{9}$ .

$(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$

Etapa 9.2

Reescreva $(\frac{\cos (2 x) e^{3 x}}{3} + \frac{2 \sin (2 x) e^{3 x}}{9}) \frac{9}{13} + C$ como $(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$ .

$(\frac{1}{3} \cos (2 x) e^{3 x} + \frac{2}{9} \sin (2 x) e^{3 x}) \frac{9}{13} + C$