Cálculo Exemplos

$\int e^{- x} \cos (2 x) d x$

Etapa 1

Reordene $e^{- x}$ e $\cos (2 x)$ .

$\int \cos (2 x) e^{- x} d x$

Etapa 2

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \cos (2 x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (- 2 \sin (2 x)) d x$

Etapa 3

Como $- - 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- - 2$ para fora da integral.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (- - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Etapa 4

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - (2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x)$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int e^{- x} (\sin (2 x)) d x$

Etapa 4.3

Reordene $e^{- x}$ e $\sin (2 x)$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 \int \sin (2 x) e^{- x} d x$

Etapa 5

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \sin (2 x)$ e $d v = e^{- x}$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - \int - e^{- x} (2 \cos (2 x)) d x)$

Etapa 6

Como $- 1 \cdot 2$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1 \cdot 2$ para fora da integral.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 1 \cdot 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Etapa 7

Simplifique multiplicando.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) - (- 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x))$

Etapa 7.2

Multiplique $- 2$ por $- 1$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x}) + 2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Etapa 7.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\cos (2 x) (- e^{- x}) - 2 (\sin (2 x) (- e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Etapa 7.4

Multiplique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.4.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 2 (2 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x)$

Etapa 7.4.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x})) - 4 \int e^{- x} (\cos (2 x)) d x$

Etapa 8

Ao resolver $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ , descobrimos que $\int e^{- x} \cos (2 x) d x$ = $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5}$ .

$\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 (\sin (2 x) (e^{- x}))}{5} + C$

Etapa 9

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Reescreva $\frac{\cos (2 x) (- e^{- x}) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ como $\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$ .

$\frac{- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Etapa 9.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Fatore $e^{- x}$ de $- \cos (2 x) e^{- x} + 2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1.1

Fatore $e^{- x}$ de $- \cos (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + 2 \sin (2 x) e^{- x}}{5} + C$

Etapa 9.2.1.2

Fatore $e^{- x}$ de $2 \sin (2 x) e^{- x}$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))}{5} + C$

Etapa 9.2.1.3

Fatore $e^{- x}$ de $e^{- x} (- \cos (2 x)) + e^{- x} (2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- \cos (2 x) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Etapa 9.2.2

Fatore $- 1$ de $- \cos (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) + 2 \sin (2 x))}{5} + C$

Etapa 9.2.3

Fatore $- 1$ de $2 \sin (2 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Etapa 9.2.4

Fatore $- 1$ de $- (\cos (2 x)) - (- 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Etapa 9.2.5

Reescreva $- (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ como $- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x))$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)))}{5} + C$

Etapa 9.2.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{1}{5} e^{- x} (\cos (2 x) - 2 \sin (2 x)) + C$