Cálculo Exemplos

$\int \sec^{3} (x) \tan^{3} (x) d x$

Etapa 1

Fatore $\tan^{2} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) (\tan^{2} (x) \tan (x)) d x$

Etapa 2

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (x)$ como $- 1 + \sec^{2} (x)$ .

$\int \sec^{3} (x) ((- 1 + \sec^{2} (x)) \tan (x)) d x$

Etapa 3

Deixe $u = \sec (x)$ . Depois, $d u = \sec (x) \tan (x) d x$ , então, $\frac{1}{\sec (x) \tan (x)} d u = d x$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = \sec (x)$ . Encontre $\frac{d u}{d x}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $\sec (x)$ .

$\frac{d}{d x} [\sec (x)]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\sec (x)$ em relação a $x$ é $\sec (x) \tan (x)$ .

$\sec (x) \tan (x)$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int u^{2} (- 1 + u^{2}) d u$

Etapa 4

Multiplique $u^{2} (- 1 + u^{2})$ .

$\int u^{2} \cdot - 1 + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $u^{2}$ .

$\int - 1 \cdot u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.2

Reescreva $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$\int - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 5.3

Multiplique $u^{2}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 5.3.2

Some $2$ e $2$ .

$\int - u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 6

Divida a integral única em várias integrais.

$\int - u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Etapa 7

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int u^{2} d u + \int u^{4} d u$

Etapa 8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \int u^{4} d u$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$- (\frac{1}{3} u^{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 10

Simplifique.

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Etapa 10.1

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$- (\frac{u^{3}}{3} + C) + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 10.2

Simplifique.

$- \frac{1}{3} u^{3} + \frac{1}{5} u^{5} + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\sec (x)$ .

$- \frac{1}{3} \sec^{3} (x) + \frac{1}{5} \sec^{5} (x) + C$