Cálculo Exemplos

$\int \frac{5 - x}{2 x^{2} + x - 1} d x$

Etapa 1

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

Fatore por agrupamento.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1

Para um polinômio da forma $a x^{2} + b x + c$ , reescreva o termo do meio como uma soma de dois termos cujo produto é $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ e cuja soma é $b = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.1.1

Multiplique por $1$ .

$\frac{5 - x}{2 x^{2} + 1 x - 1}$

Etapa 1.1.1.1.2

Reescreva $1$ como $- 1$ mais $2$

$\frac{5 - x}{2 x^{2} + (- 1 + 2) x - 1}$

Etapa 1.1.1.1.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{5 - x}{2 x^{2} - 1 x + 2 x - 1}$

Etapa 1.1.1.2

Fatore o máximo divisor comum de cada grupo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1.2.1

Agrupe os dois primeiros termos e os dois últimos termos.

$\frac{5 - x}{(2 x^{2} - 1 x) + 2 x - 1}$

Etapa 1.1.1.2.2

Fatore o máximo divisor comum (MDC) de cada grupo.

$\frac{5 - x}{x (2 x - 1) + 1 (2 x - 1)}$

Etapa 1.1.1.3

Fatore o polinômio desmembrando o máximo divisor comum, $2 x - 1$ .

$\frac{5 - x}{(2 x - 1) (x + 1)}$

Etapa 1.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $A$ .

$\frac{A}{2 x - 1}$

Etapa 1.1.3

$\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 1.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $(2 x - 1) (x + 1)$ .

$\frac{(5 - x) (2 x - 1) (x + 1)}{(2 x - 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.1.5

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 - x) (2 x - 1) (x + 1)}{(2 x - 1) (x + 1)} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{(5 - x) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.1.6

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{(5 - x) (x + 1)}{x + 1} = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.1.6.2

Divida $5 - x$ por $1$ .

$5 - x = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.1.7

Reordene $5$ e $- x$ .

$- x + 5 = \frac{(A) (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.1.8

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1

Cancele o fator comum de $2 x - 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.1.1

Cancele o fator comum.

$- x + 5 = \frac{A (2 x - 1) (x + 1)}{2 x - 1} + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.1.2

Divida $(A) (x + 1)$ por $1$ .

$- x + 5 = (A) (x + 1) + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.2

Aplique a propriedade distributiva.

$- x + 5 = A x + A \cdot 1 + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.3

Multiplique $A$ por $1$ .

$- x + 5 = A x + A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.4

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.8.4.1

Cancele o fator comum.

$- x + 5 = A x + A + \frac{(B) (2 x - 1) (x + 1)}{x + 1}$

Etapa 1.1.8.4.2

Divida $(B) (2 x - 1)$ por $1$ .

$- x + 5 = A x + A + (B) (2 x - 1)$

Etapa 1.1.8.5

Aplique a propriedade distributiva.

$- x + 5 = A x + A + B (2 x) + B \cdot - 1$

Etapa 1.1.8.6

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$- x + 5 = A x + A + 2 B x + B \cdot - 1$

Etapa 1.1.8.7

Mova $- 1$ para a esquerda de $B$ .

$- x + 5 = A x + A + 2 B x - 1 \cdot B$

Etapa 1.1.8.8

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$- x + 5 = A x + A + 2 B x - B$

Etapa 1.1.9

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.9.1

Mova $B$ .

$- x + 5 = A x + A + 2 x B - B$

Etapa 1.1.9.2

Mova $A$ .

$- x + 5 = A x + 2 x B + A - B$

Etapa 1.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$- 1 = A + 2 B$

Etapa 1.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = A - 1 B$

Etapa 1.2.3

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$- 1 = A + 2 B$

$5 = A - 1 B$

$- 1 = A + 2 B$

$5 = A - 1 B$

Etapa 1.3

Resolva o sistema de equações.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Resolva $A$ em $- 1 = A + 2 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Reescreva a equação como $A + 2 B = - 1$ .

$A + 2 B = - 1$

$5 = A - 1 B$

Etapa 1.3.1.2

Subtraia $2 B$ dos dois lados da equação.

$A = - 1 - 2 B$

$5 = A - 1 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = A - 1 B$

Etapa 1.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 1 - 2 B$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $5 = A - 1 B$ por $- 1 - 2 B$ .

$5 = (- 1 - 2 B) - 1 B$

$A = - 1 - 2 B$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique $(- 1 - 2 B) - 1 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.2.1.1

Reescreva $- 1 B$ como $- B$ .

$5 = - 1 - 2 B - B$

$A = - 1 - 2 B$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Subtraia $B$ de $- 2 B$ .

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

$5 = - 1 - 3 B$

$A = - 1 - 2 B$

Etapa 1.3.3

Resolva $B$ em $5 = - 1 - 3 B$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.1

Reescreva a equação como $- 1 - 3 B = 5$ .

$- 1 - 3 B = 5$

$A = - 1 - 2 B$

Etapa 1.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.2.1

Some $1$ aos dois lados da equação.

$- 3 B = 5 + 1$

$A = - 1 - 2 B$

Etapa 1.3.3.2.2

Some $5$ e $1$ .

$- 3 B = 6$

$A = - 1 - 2 B$

$- 3 B = 6$

$A = - 1 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3

Divida cada termo em $- 3 B = 6$ por $- 3$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.1

Divida cada termo em $- 3 B = 6$ por $- 3$ .

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1

Cancele o fator comum de $- 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 3 B}{- 3} = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3.2.1.2

Divida $B$ por $1$ .

$B = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

$B = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

$B = \frac{6}{- 3}$

$A = - 1 - 2 B$

Etapa 1.3.3.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.3.3.3.1

Divida $6$ por $- 3$ .

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

$B = - 2$

$A = - 1 - 2 B$

Etapa 1.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $- 2$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $A = - 1 - 2 B$ por $- 2$ .

$A = - 1 - 2 \cdot - 2$

$B = - 2$

Etapa 1.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1

Simplifique $- 1 - 2 \cdot - 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.4.2.1.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$A = - 1 + 4$

$B = - 2$

Etapa 1.3.4.2.1.2

Some $- 1$ e $4$ .

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

$A = 3$

$B = - 2$

Etapa 1.3.5

Liste todas as soluções.

$A = 3, B = - 2$

Etapa 1.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{2 x - 1} + \frac{B}{x + 1}$ pelos valores encontrados para $A$ e $B$ .

$\frac{3}{2 x - 1} + \frac{- 2}{x + 1}$

Etapa 1.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{3}{2 x - 1} - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int \frac{3}{2 x - 1} d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 3

Como $3$ é constante com relação a $x$ , mova $3$ para fora da integral.

$3 \int \frac{1}{2 x - 1} d x + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 4

Deixe $u_{1} = 2 x - 1$ . Depois, $d u_{1} = 2 d x$ , então, $\frac{1}{2} d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Deixe $u_{1} = 2 x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie $2 x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [2 x - 1]$

Etapa 4.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $2 x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 x$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 4.1.4

Diferencie usando a regra da constante.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.4.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 + 0$

Etapa 4.1.4.2

Some $2$ e $0$ .

$2$

Etapa 4.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1}} \cdot \frac{1}{2} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 5

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Multiplique $\frac{1}{u_{1}}$ por $\frac{1}{2}$ .

$3 \int \frac{1}{u_{1} \cdot 2} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 5.2

Mova $2$ para a esquerda de $u_{1}$ .

$3 \int \frac{1}{2 u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 6

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$3 (\frac{1}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1}) + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 7

Combine $\frac{1}{2}$ e $3$ .

$\frac{3}{2} \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 8

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) + \int - \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - \int \frac{2}{x + 1} d x$

Etapa 10

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - (2 \int \frac{1}{x + 1} d x)$

Etapa 11

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{x + 1} d x$

Etapa 12

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1

Deixe $u_{2} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 12.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 12.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 12.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 12.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 13

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$\frac{3}{2} (\ln (| u_{1} |) + C) - 2 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 14

Simplifique.

$\frac{3}{2} \ln (| u_{1} |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 15

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $2 x - 1$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |) - 2 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 15.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x + 1$ .

$\frac{3}{2} \ln (| 2 x - 1 |) - 2 \ln (| x + 1 |) + C$