Cálculo Exemplos

$\int \frac{\sqrt{x^{2} - 4}}{x} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 2 \sec (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \sec (t) \tan (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \sec (t) \tan (t)$ é positivo.

$\int \frac{\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{{(2 \sec (t))}^{2} - 4}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sec (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{2^{2} \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4 \sec^{2} (t)$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t)) - 4}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $- 4$ .

$\int \frac{\sqrt{4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $4$ de $4 \sec^{2} (t) + 4 \cdot - 1$ .

$\int \frac{\sqrt{4 (\sec^{2} (t) - 1)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{\sqrt{4 \tan^{2} (t)}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $4 \tan^{2} (t)$ como ${(2 \tan (t))}^{2}$ .

$\int \frac{\sqrt{{(2 \tan (t))}^{2}}}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2

Cancele o fator comum de $2 \sec (t)$ .

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Etapa 2.2.1

Fatore $2 \sec (t)$ de $2 \sec (t) \tan (t)$ .

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) (\tan (t))) d t$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{2 \tan (t)}{2 \sec (t)} (2 \sec (t) \tan (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Reescreva a expressão.

$\int 2 \tan (t) \tan (t) d t$

Etapa 3

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan (t)) d t$

Etapa 4

Eleve $\tan (t)$ à potência de $1$ .

$\int 2 (\tan^{1} (t) \tan^{1} (t)) d t$

Etapa 5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int 2 {\tan (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 6

Some $1$ e $1$ .

$\int 2 \tan^{2} (t) d t$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \tan^{2} (t) d t$

Etapa 8

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\tan^{2} (t)$ como $- 1 + \sec^{2} (t)$ .

$2 \int - 1 + \sec^{2} (t) d t$

Etapa 9

Divida a integral única em várias integrais.

$2 (\int - 1 d t + \int \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 10

Aplique a regra da constante.

$2 (- t + C + \int \sec^{2} (t) d t)$

Etapa 11

Como a derivada de $\tan (t)$ é $\sec^{2} (t)$ , a integral de $\sec^{2} (t)$ é $\tan (t)$ .

$2 (- t + C + \tan (t) + C)$

Etapa 12

Simplifique.

$2 (- t + \tan (t)) + C$

Etapa 13

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $arcsec (\frac{x}{2})$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \tan (arcsec (\frac{x}{2}))) + C$

Etapa 14

Simplifique.

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Etapa 14.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 14.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ , $(1, 0)$ e a origem. Então, $arcsec (\frac{x}{2})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(1, \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}})$ . Portanto, $\tan (arcsec (\frac{x}{2}))$ é $\sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1}) + C$

Etapa 14.1.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{x}{2})}^{2} - 1^{2}}) + C$

Etapa 14.1.3

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = \frac{x}{2}$ e $b = 1$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + 1) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Etapa 14.1.4

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(\frac{x}{2} + \frac{2}{2}) (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Etapa 14.1.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1)}) + C$

Etapa 14.1.6

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2})}) + C$

Etapa 14.1.7

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} (\frac{x}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2})}) + C$

Etapa 14.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 1 \cdot 2}{2}}) + C$

Etapa 14.1.9

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{x + 2}{2} \cdot \frac{x - 2}{2}}) + C$

Etapa 14.1.10

Multiplique $\frac{x + 2}{2}$ por $\frac{x - 2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{2 \cdot 2}}) + C$

Etapa 14.1.11

Multiplique $2$ por $2$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}}) + C$

Etapa 14.1.12

Reescreva $\frac{(x + 2) (x - 2)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))$ .

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Etapa 14.1.12.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(x + 2) (x - 2)$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{4}}) + C$

Etapa 14.1.12.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}}) + C$

Etapa 14.1.12.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((x + 2) (x - 2))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((x + 2) (x - 2))}) + C$

Etapa 14.1.13

Elimine os termos abaixo do radical.

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{1}{2} \sqrt{(x + 2) (x - 2)}) + C$

Etapa 14.1.14

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(x + 2) (x - 2)}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Etapa 14.2

Para escrever $- arcsec (\frac{x}{2})$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$2 (- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot \frac{2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Etapa 14.3

Combine $- arcsec (\frac{x}{2})$ e $\frac{2}{2}$ .

$2 (\frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2}{2} + \frac{\sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2}) + C$

Etapa 14.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Etapa 14.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 14.5.1

Cancele o fator comum.

$2 \frac{- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)}}{2} + C$

Etapa 14.5.2

Reescreva a expressão.

$- arcsec (\frac{x}{2}) \cdot 2 + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Etapa 14.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 arcsec (\frac{x}{2}) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$

Etapa 15

Reordene os termos.

$- 2 arcsec (\frac{1}{2} x) + \sqrt{(x + 2) (x - 2)} + C$