Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{1 - \sin (x)} d x$

Etapa 1

Aplique a fórmula do arco duplo do seno.

$\int \frac{1}{1 - (2 (\sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})))} d x$

Etapa 2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 3

Multiplique o argumento por $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})}$

$\int \frac{1}{1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})} \cdot \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 4

Combine frações.

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Etapa 4.1

Combine.

$\int \frac{1 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 4.2

Multiplique ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{(1 - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 5

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 {\sec (\frac{x}{2})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {\sec (\frac{x}{2})}^{2}} d x$

Etapa 5.2

Multiplique ${\sec (\frac{x}{2})}^{2}$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 6

Simplifique cada termo.

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Etapa 6.1

Reescreva $\sec (\frac{x}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 6.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 6.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \sec^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 6.4

Reescreva $\sec (\frac{x}{2})$ em termos de senos e cossenos.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) {(\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})})}^{2}} d x$

Etapa 6.5

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1^{2}}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 6.6

Um elevado a qualquer potência é um.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 6.7

Cancele o fator comum de $\cos (\frac{x}{2})$ .

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Etapa 6.7.1

Fatore $\cos (\frac{x}{2})$ de $- 2 \sin (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 6.7.2

Fatore $\cos (\frac{x}{2})$ de $\cos^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 6.7.3

Cancele o fator comum.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \cos (\frac{x}{2}) (- 2 \sin (\frac{x}{2})) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2}) \cos (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 6.7.4

Reescreva a expressão.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - 2 \sin (\frac{x}{2}) \frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 6.8

Combine $\frac{1}{\cos (\frac{x}{2})}$ e $- 2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})} \sin (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 6.9

Combine $\frac{- 2}{\cos (\frac{x}{2})}$ e $\sin (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} + \frac{- 2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 6.10

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})} - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 7

Converta de $\frac{1}{\cos^{2} (\frac{x}{2})}$ em $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}} d x$

Etapa 8

Converta de $\frac{2 \sin (\frac{x}{2})}{\cos (\frac{x}{2})}$ em $2 \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{\sec^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Etapa 9

Transforme $\sec^{2} (x)$ em $1 + \tan^{2} (x)$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - (2 \tan (\frac{x}{2}))} d x$

Etapa 10

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 + \tan^{2} (\frac{x}{2}) - 2 \tan (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 11

Fatore usando a regra do quadrado perfeito.

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Etapa 11.1

Reorganize os termos.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1 - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 11.2

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 11.3

Verifique se o termo do meio é duas vezes o produto dos números ao quadrado no primeiro e no terceiro termos.

$2 \tan (\frac{x}{2}) = 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2})$

Etapa 11.4

Reescreva o polinômio.

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{1^{2} - 2 \cdot 1 \cdot \tan (\frac{x}{2}) + \tan^{2} (\frac{x}{2})} d x$

Etapa 11.5

Fatore usando a regra do trinômio quadrado perfeito $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , em que $a = 1$ e $b = \tan (\frac{x}{2})$ .

$\int \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{{(1 - \tan (\frac{x}{2}))}^{2}} d x$

Etapa 12

Deixe $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Depois, $d u_{1} = \frac{1}{2} d x$ , então, $2 d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

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Etapa 12.1

Deixe $u_{1} = \frac{x}{2}$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

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Etapa 12.1.1

Diferencie $\frac{x}{2}$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

Etapa 12.1.2

Como $\frac{1}{2}$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{x}{2}$ em relação a $x$ é $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 12.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{2} \cdot 1$

Etapa 12.1.4

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{2}$

Etapa 12.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot \frac{1}{\frac{1}{2}} d u_{1}$

Etapa 13

Simplifique.

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Etapa 13.1

Multiplique pelo inverso da fração para dividir por $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} (1 \cdot 2) d u_{1}$

Etapa 13.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} \cdot 2 d u_{1}$

Etapa 13.3

Combine $\frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}}$ e $2$ .

$\int \frac{\sec^{2} (u_{1}) \cdot 2}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Etapa 13.4

Mova $2$ para a esquerda de $\sec^{2} (u_{1})$ .

$\int \frac{2 \sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Etapa 14

Como $2$ é constante com relação a $u_{1}$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int \frac{\sec^{2} (u_{1})}{{(1 - \tan (u_{1}))}^{2}} d u_{1}$

Etapa 15

Deixe $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Depois, $d u_{2} = - \sec^{2} (u_{1}) d u_{1}$ , então, $- \frac{1}{\sec^{2} (u_{1})} d u_{2} = d u_{1}$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 15.1

Deixe $u_{2} = 1 - \tan (u_{1})$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d u_{1}}$ .

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Etapa 15.1.1

Diferencie $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1 - \tan (u_{1})]$

Etapa 15.1.2

Diferencie.

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Etapa 15.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $1 - \tan (u_{1})$ com relação a $u_{1}$ é $\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [1] + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Etapa 15.1.2.2

Como $1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $1$ em relação a $u_{1}$ é $0$ .

$0 + \frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$

Etapa 15.1.3

Avalie $\frac{d}{d u_{1}} [- \tan (u_{1})]$ .

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Etapa 15.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $u_{1}$ , a derivada de $- \tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $- \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$ .

$0 - \frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})]$

Etapa 15.1.3.2

A derivada de $\tan (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\sec^{2} (u_{1})$ .

$0 - \sec^{2} (u_{1})$

Etapa 15.1.4

Subtraia $\sec^{2} (u_{1})$ de $0$ .

$- \sec^{2} (u_{1})$

Etapa 15.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$2 \int \frac{- 1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 16

Mova o número negativo para a frente da fração.

$2 \int - \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 17

Como $- 1$ é constante com relação a $u_{2}$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2})$

Etapa 18

Simplifique a expressão.

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Etapa 18.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$- 2 \int \frac{1}{{u_{2}}^{2}} d u_{2}$

Etapa 18.2

Mova ${u_{2}}^{2}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$- 2 \int {({u_{2}}^{2})}^{- 1} d u_{2}$

Etapa 18.3

Multiplique os expoentes em ${({u_{2}}^{2})}^{- 1}$ .

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Etapa 18.3.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{2 \cdot - 1} d u_{2}$

Etapa 18.3.2

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$- 2 \int {u_{2}}^{- 2} d u_{2}$

Etapa 19

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de ${u_{2}}^{- 2}$ com relação a $u_{2}$ é $- {u_{2}}^{- 1}$ .

$- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$

Etapa 20

Simplifique.

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Etapa 20.1

Reescreva $- 2 (- {u_{2}}^{- 1} + C)$ como $- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$ .

$- 2 (- \frac{1}{u_{2}}) + C$

Etapa 20.2

Simplifique.

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Etapa 20.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \frac{1}{u_{2}} + C$

Etapa 20.2.2

Combine $2$ e $\frac{1}{u_{2}}$ .

$\frac{2}{u_{2}} + C$

Etapa 21

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

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Etapa 21.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $1 - \tan (u_{1})$ .

$\frac{2}{1 - \tan (u_{1})} + C$

Etapa 21.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\frac{x}{2}$ .

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{x}{2})} + C$

Etapa 22

Reordene os termos.

$\frac{2}{1 - \tan (\frac{1}{2} x)} + C$