Cálculo Exemplos

$\int (\sqrt{t^{6} + 5 t}) (6 t^{5} + 5) d t$

Etapa 1

Deixe $u = t^{6} + 5 t$ . Depois, $d u = (6 t^{5} + 5) d t$ , então, $\frac{1}{6 t^{5} + 5} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = t^{6} + 5 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6} + 5 t]$

Etapa 1.1.2

Diferencie.

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Etapa 1.1.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $t^{6} + 5 t$ com relação a $t$ é $\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$ .

$\frac{d}{d t} [t^{6}] + \frac{d}{d t} [5 t]$

Etapa 1.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 6$ .

$6 t^{5} + \frac{d}{d t} [5 t]$

Etapa 1.1.3

Avalie $\frac{d}{d t} [5 t]$ .

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Etapa 1.1.3.1

Como $5$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $5 t$ em relação a $t$ é $5 \frac{d}{d t} [t]$ .

$6 t^{5} + 5 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 1.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$6 t^{5} + 5 \cdot 1$

Etapa 1.1.3.3

Multiplique $5$ por $1$ .

$6 t^{5} + 5$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}} + C$

Etapa 4

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $t^{6} + 5 t$ .

$\frac{2}{3} {(t^{6} + 5 t)}^{\frac{3}{2}} + C$