Cálculo Exemplos

$\sum_{n = 1}^{7} 2 {(- 2)}^{n - 1}$

Etapa 1

A soma de uma série geométrica finita pode ser encontrada pela fórmula $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ , em que $a$ é o primeiro termo e $r$ é a razão entre os termos sucessivos.

Etapa 2

Encontre a razão dos termos sucessivos substituindo a fórmula $r = \frac{a_{n + 1}}{a_{n}}$ e simplificando.

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Etapa 2.1

Substitua $a_{n}$ e $a_{n + 1}$ na fórmula por $r$ .

$r = \frac{2 {(- 2)}^{n + 1 - 1}}{2 {(- 2)}^{n - 1}}$

Etapa 2.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$r = \frac{2 {(- 2)}^{n + 1 - 1}}{2 {(- 2)}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- 2)}^{n + 1 - 1}}{{(- 2)}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de ${(- 2)}^{n + 1 - 1}$ e ${(- 2)}^{n - 1}$ .

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Etapa 2.2.2.1

Fatore ${(- 2)}^{n - 1}$ de ${(- 2)}^{n + 1 - 1}$ .

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1}}$

Etapa 2.2.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 2.2.2.2.1

Multiplique por $1$ .

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.2

Cancele o fator comum.

$r = \frac{{(- 2)}^{n - 1} {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{{(- 2)}^{n - 1} \cdot 1}$

Etapa 2.2.2.2.3

Reescreva a expressão.

$r = \frac{{(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}}{1}$

Etapa 2.2.2.2.4

Divida ${(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}$ por $1$ .

$r = {(- 2)}^{n + 0 - (n - 1)}$

Etapa 2.2.3

Some $n$ e $0$ .

$r = {(- 2)}^{n - (n - 1)}$

Etapa 2.2.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$r = {(- 2)}^{n - n - - 1}$

Etapa 2.2.4.2

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$r = {(- 2)}^{n - n + 1}$

Etapa 2.2.5

Subtraia $n$ de $n$ .

$r = {(- 2)}^{0 + 1}$

Etapa 2.2.6

Some $0$ e $1$ .

$r = {(- 2)}^{1}$

Etapa 2.2.7

Avalie o expoente.

$r = - 2$

Etapa 3

Encontre o primeiro termo da série, substituindo o limite inferior e simplificando.

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Etapa 3.1

Substitua $1$ por $n$ em $2 {(- 2)}^{n - 1}$ .

$a = 2 {(- 2)}^{1 - 1}$

Etapa 3.2

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.2.1

Subtraia $1$ de $1$ .

$a = 2 {(- 2)}^{0}$

Etapa 3.2.2

Qualquer coisa elevada a $0$ é $1$ .

$a = 2 \cdot 1$

Etapa 3.2.3

Multiplique $2$ por $1$ .

$a = 2$

Etapa 4

Substitua os valores da razão, o primeiro termo e o número de termos na fórmula da soma.

$2 \frac{1 - {(- 2)}^{7}}{1 - - 2}$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $7$ .

$2 \frac{1 - - 128}{1 - - 2}$

Etapa 5.1.2

Multiplique $- 1$ por $- 128$ .

$2 \frac{1 + 128}{1 - - 2}$

Etapa 5.1.3

Some $1$ e $128$ .

$2 \frac{129}{1 - - 2}$

Etapa 5.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 5.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 2$ .

$2 \frac{129}{1 + 2}$

Etapa 5.2.2

Some $1$ e $2$ .

$2 (\frac{129}{3})$

Etapa 5.3

Divida $129$ por $3$ .

$2 \cdot 43$

Etapa 5.4

Multiplique $2$ por $43$ .

$86$