Cálculo Exemplos

$f (x) = x \sin (x)$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências.

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Etapa 1.3.1

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1$

Etapa 1.3.2

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$f' (x) = x \cos (x) + \sin (x)$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x \cos (x) + \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f'' (x) = x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Etapa 2.2.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1 + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Etapa 2.2.4

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \frac{d}{d x} (\sin (x))$

Etapa 2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + \cos (x) + \cos (x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Some $\cos (x)$ e $\cos (x)$ .

$f'' (x) = x (- \sin (x)) + 2 \cos (x)$

Etapa 2.4.2

Reordene os termos.

$f'' (x) = - x \sin (x) + 2 \cos (x)$

Etapa 3

Encontre a terceira derivada.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x \sin (x) + 2 \cos (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)] + \frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

$f''' (x) = \frac{d}{d x} (- x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Etapa 3.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x \sin (x)]$ .

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Etapa 3.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x \sin (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x \sin (x)]$ .

$f''' (x) = - \frac{d}{d x} (x \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Etapa 3.2.3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Etapa 3.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Etapa 3.2.5

Multiplique $\sin (x)$ por $1$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + \frac{d}{d x} (2 \cos (x))$

Etapa 3.3

Avalie $\frac{d}{d x} [2 \cos (x)]$ .

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Etapa 3.3.1

Como $2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $2 \cos (x)$ em relação a $x$ é $2 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 \frac{d}{d x} (\cos (x))$

Etapa 3.3.2

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) + 2 (- \sin (x))$

Etapa 3.3.3

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$f''' (x) = - (x \cos (x) + \sin (x)) - 2 \sin (x)$

Etapa 3.4

Simplifique.

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Etapa 3.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f''' (x) = - (x \cos (x)) - \sin (x) - 2 \sin (x)$

Etapa 3.4.2

Subtraia $2 \sin (x)$ de $- \sin (x)$ .

$f''' (x) = - x \cos (x) - 3 \sin (x)$

Etapa 4

Encontre a quarta derivada.

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Etapa 4.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- x \cos (x) - 3 \sin (x)$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)] + \frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = \frac{d}{d x} (- x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 4.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Etapa 4.2.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x \cos (x)$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f^{4} (x) = - \frac{d}{d x} (x \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 4.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 4.2.3

A derivada de $\cos (x)$ em relação a $x$ é $- \sin (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 4.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 4.2.5

Multiplique $\cos (x)$ por $1$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) + \frac{d}{d x} (- 3 \sin (x))$

Etapa 4.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 3 \sin (x)]$ .

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Etapa 4.3.1

Como $- 3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 3 \sin (x)$ em relação a $x$ é $- 3 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \frac{d}{d x} \sin (x)$

Etapa 4.3.2

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x)) + \cos (x)) - 3 \cos (x)$

Etapa 4.4

Simplifique.

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Etapa 4.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f^{4} (x) = - (x (- \sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Etapa 4.4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.4.2.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$f^{4} (x) = 1 (x (\sin (x))) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Etapa 4.4.2.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - \cos (x) - 3 \cos (x)$

Etapa 4.4.2.3

Subtraia $3 \cos (x)$ de $- \cos (x)$ .

$f^{4} (x) = x \sin (x) - 4 \cos (x)$

Etapa 5

A quarta derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $x \sin (x) - 4 \cos (x)$ .

$x \sin (x) - 4 \cos (x)$