Cálculo Exemplos

$y = \sin (x + y)$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\sin (x + y))$

Etapa 2

A derivada de $y$ em relação a $x$ é $y'$ .

$y'$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = x + y$ .

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Etapa 3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.1.2

A derivada de $\sin (u)$ em relação a $u$ é $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x + y$ .

$\cos (x + y) \frac{d}{d x} [x + y]$

Etapa 3.2

Diferencie.

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Etapa 3.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\cos (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (x + y) (1 + y')$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y' = \cos (x + y) (1 + y')$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.1.1

Simplifique $\cos (x + y) (1 + y')$ .

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Etapa 5.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$y' = \cos (x + y) \cdot 1 + \cos (x + y) y'$

Etapa 5.1.1.2

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.1.1.2.1

Multiplique $\cos (x + y)$ por $1$ .

$y' = \cos (x + y) + \cos (x + y) y'$

Etapa 5.1.1.2.2

Reordene os fatores em $\cos (x + y) + \cos (x + y) y'$ .

$y' = \cos (x + y) + y' \cos (x + y)$

Etapa 5.2

Subtraia $y' \cos (x + y)$ dos dois lados da equação.

$y' - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Etapa 5.3

Fatore $y'$ de $y' - y' \cos (x + y)$ .

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Etapa 5.3.1

Fatore $y'$ de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' \cos (x + y) = \cos (x + y)$

Etapa 5.3.2

Fatore $y'$ de $- y' \cos (x + y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Etapa 5.3.3

Fatore $y'$ de $y' \cdot 1 + y' (- 1 \cos (x + y))$ .

$y' (1 - 1 \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Etapa 5.4

Reescreva $- 1 \cos (x + y)$ como $- \cos (x + y)$ .

$y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$

Etapa 5.5

Divida cada termo em $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ por $1 - \cos (x + y)$ e simplifique.

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Etapa 5.5.1

Divida cada termo em $y' (1 - \cos (x + y)) = \cos (x + y)$ por $1 - \cos (x + y)$ .

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Etapa 5.5.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.5.2.1

Cancele o fator comum de $1 - \cos (x + y)$ .

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Etapa 5.5.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (1 - \cos (x + y))}{1 - \cos (x + y)} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Etapa 5.5.2.1.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\cos (x + y)}{1 - \cos (x + y)}$