Cálculo Exemplos

${(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = 37$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} ({(x + 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2}) = \frac{d}{d x} (37)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Reescreva ${(x + 2)}^{2}$ como $(x + 2) (x + 2)$ .

$\frac{d}{d x} [(x + 2) (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Etapa 2.2

Expanda $(x + 2) (x + 2)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x (x + 2) + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Etapa 2.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 (x + 2) + {(y - 3)}^{2}]$

Etapa 2.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x \cdot x + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Etapa 2.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + x \cdot 2 + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Etapa 2.3.1.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 \cdot x + 2 x + 2 \cdot 2 + {(y - 3)}^{2}]$

Etapa 2.3.1.3

Multiplique $2$ por $2$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 2 x + 2 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Etapa 2.3.2

Some $2 x$ e $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + {(y - 3)}^{2}]$

Etapa 2.4

Reescreva ${(y - 3)}^{2}$ como $(y - 3) (y - 3)$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + (y - 3) (y - 3)]$

Etapa 2.5

Expanda $(y - 3) (y - 3)$ usando o método FOIL.

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Etapa 2.5.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y (y - 3) - 3 (y - 3)]$

Etapa 2.5.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 (y - 3)]$

Etapa 2.5.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y \cdot y + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Etapa 2.6

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 2.6.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.6.1.1

Multiplique $y$ por $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} + y \cdot - 3 - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Etapa 2.6.1.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 \cdot y - 3 y - 3 \cdot - 3]$

Etapa 2.6.1.3

Multiplique $- 3$ por $- 3$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 3 y - 3 y + 9]$

Etapa 2.6.2

Subtraia $3 y$ de $- 3 y$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9]$

Etapa 2.7

Diferencie.

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Etapa 2.7.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} + 4 x + 4 + y^{2} - 6 y + 9$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + \frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.8

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Etapa 2.8.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x + 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.8.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x + 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.8.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$2 x + 4 + \frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.9

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.10

Avalie $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Etapa 2.10.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.10.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$2 x + 4 + 0 + \frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.10.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.10.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.10.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' + \frac{d}{d x} [- 6 y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.11

Avalie $\frac{d}{d x} [- 6 y]$ .

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Etapa 2.11.1

Como $- 6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 6 y$ em relação a $x$ é $- 6 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.11.2

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + \frac{d}{d x} [9]$

Etapa 2.12

Como $9$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $9$ em relação a $x$ é $0$ .

$2 x + 4 + 0 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Etapa 2.13

Simplifique.

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Etapa 2.13.1

Combine os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.13.1.1

Some $2 x + 4$ e $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y' + 0$

Etapa 2.13.1.2

Some $2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$ e $0$ .

$2 x + 4 + 2 y y' - 6 y'$

Etapa 2.13.2

Reordene os termos.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y'$

Etapa 3

Como $37$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $37$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 y y' + 2 x + 4 - 6 y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 x$ dos dois lados da equação.

$2 y y' + 4 - 6 y' = - 2 x$

Etapa 5.1.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$2 y y' - 6 y' = - 2 x - 4$

Etapa 5.2

Fatore $2 y'$ de $2 y y' - 6 y'$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $2 y'$ de $2 y y'$ .

$2 y' y - 6 y' = - 2 x - 4$

Etapa 5.2.2

Fatore $2 y'$ de $- 6 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot - 3 = - 2 x - 4$

Etapa 5.2.3

Fatore $2 y'$ de $2 y' y + 2 y' \cdot - 3$ .

$2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ por $2 (y - 3)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $2 y' (y - 3) = - 2 x - 4$ por $2 (y - 3)$ .

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 y' (y - 3)}{2 (y - 3)} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (y - 3)}{y - 3} = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 x}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 x$ .

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- x)}{2 (y - 3)} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.3.3.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 4}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.3.3.1.3

Cancele o fator comum de $- 4$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.3.1

Fatore $2$ de $- 4$ .

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.1.3.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{2 \cdot - 2}{2 (y - 3)}$

Etapa 5.3.3.1.3.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{x}{y - 3} + \frac{- 2}{y - 3}$

Etapa 5.3.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x}{y - 3} - \frac{2}{y - 3}$

Etapa 5.3.3.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- x - 2}{y - 3}$

Etapa 5.3.3.2.2

Fatore $- 1$ de $- x$ .

$y' = \frac{- (x) - 2}{y - 3}$

Etapa 5.3.3.2.3

Reescreva $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x) - 1 (2)}{y - 3}$

Etapa 5.3.3.2.4

Fatore $- 1$ de $- (x) - 1 (2)$ .

$y' = \frac{- (x + 2)}{y - 3}$

Etapa 5.3.3.2.5

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.3.3.2.5.1

Reescreva $- (x + 2)$ como $- 1 (x + 2)$ .

$y' = \frac{- 1 (x + 2)}{y - 3}$

Etapa 5.3.3.2.5.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{x + 2}{y - 3}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{x + 2}{y - 3}$