Cálculo Exemplos

$x^{2} y^{2} - 2 x = 3$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x^{2} y^{2} - 2 x) = \frac{d}{d x} (3)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{2} y^{2} - 2 x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x) + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x + \frac{d}{d x} [- 2 x]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 \cdot 1$

Etapa 2.3.3

Multiplique $- 2$ por $1$ .

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2$

Etapa 3

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x - 2 = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $2 y^{2} x$ dos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' - 2 = - 2 y^{2} x$

Etapa 5.1.2

Some $2$ aos dois lados da equação.

$2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$

Etapa 5.2

Divida cada termo em $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ por $2 x^{2} y$ e simplifique.

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Etapa 5.2.1

Divida cada termo em $2 x^{2} y y' = - 2 y^{2} x + 2$ por $2 x^{2} y$ .

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.2.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 x^{2} y y'}{2 x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.2.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{2} y y'}{x^{2} y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.2.3

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.2.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y'}{y} = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{2} x}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.2.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.2.3.1.1

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.1.1

Fatore $2$ de $- 2 y^{2} x$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.1.2.1

Fatore $2$ de $2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{2 (- y^{2} x)}{2 (x^{2} y)} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y^{2} x}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 5.2.3.1.2.1

Fatore $y$ de $- y^{2} x$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{x^{2} y} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.2.2.1

Fatore $y$ de $x^{2} y$ .

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y (- y x)}{y x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.2.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y x}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.3

Cancele o fator comum de $x$ e $x^{2}$ .

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Etapa 5.2.3.1.3.1

Fatore $x$ de $- y x$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x^{2}} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.3.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.2.3.1.3.2.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.3.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{x (- y)}{x \cdot x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.3.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.4

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 5.2.3.1.5.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{2}{2 x^{2} y}$

Etapa 5.2.3.1.5.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y}{x} + \frac{1}{x^{2} y}$