Cálculo Exemplos

$\tan (4 x + y) = 4 x$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (\tan (4 x + y)) = \frac{d}{d x} (4 x)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \tan (x)$ e $g (x) = 4 x + y$ .

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Etapa 2.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Etapa 2.1.2

A derivada de $\tan (u)$ em relação a $u$ é $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Etapa 2.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x + y$ .

$\sec^{2} (4 x + y) \frac{d}{d x} [4 x + y]$

Etapa 2.2

Diferencie.

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Etapa 2.2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x + y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')$

Etapa 3

Diferencie o lado direito da equação.

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Etapa 3.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$4 \cdot 1$

Etapa 3.3

Multiplique $4$ por $1$ .

$4$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Divida cada termo em $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ por $\sec^{2} (4 x + y)$ e simplifique.

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Etapa 5.1.1

Divida cada termo em $\sec^{2} (4 x + y) (4 + y') = 4$ por $\sec^{2} (4 x + y)$ .

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Etapa 5.1.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.1.2.1

Cancele o fator comum de $\sec^{2} (4 x + y)$ .

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Etapa 5.1.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sec^{2} (4 x + y) (4 + y')}{\sec^{2} (4 x + y)} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Etapa 5.1.2.1.2

Divida $4 + y'$ por $1$ .

$4 + y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)}$

Etapa 5.2

Subtraia $4$ dos dois lados da equação.

$y' = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4}{\sec^{2} (4 x + y)} - 4$