Cálculo Exemplos

$24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3} = - 11$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3}) = \frac{d}{d x} (- 11)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $24 x^{3} y^{2} - 8 y^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [24 x^{3} y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $24$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $24 x^{3} y^{2}$ em relação a $x$ é $24 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}]$ .

$24 \frac{d}{d x} [x^{3} y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y^{2}$ .

$24 (x^{3} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $y$ .

$24 (x^{3} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$24 (x^{3} (2 u_{1} \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $y$ .

$24 (x^{3} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Etapa 2.2.4

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$24 (x^{3} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 (x^{3} (2 y y') + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Etapa 2.2.6

Mova $2$ para a esquerda de $x^{3}$ .

$24 (2 \cdot x^{3} y y' + y^{2} (3 x^{2})) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Etapa 2.2.7

Mova $3$ para a esquerda de $y^{2}$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 8 y^{3}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 8 y^{3}$ em relação a $x$ é $- 8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.3.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $y$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ é $n {u_{2}}^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $y$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 8 (3 y^{2} y')$

Etapa 2.3.4

Multiplique $3$ por $- 8$ .

$24 (2 x^{3} y y' + 3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$24 (2 x^{3} y y') + 24 (3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $2$ por $24$ .

$48 (x^{3} y y') + 24 (3 y^{2} x^{2}) - 24 y^{2} y'$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $3$ por $24$ .

$48 x^{3} y y' + 72 y^{2} x^{2} - 24 y^{2} y'$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$48 x^{3} y y' + 72 x^{2} y^{2} - 24 y^{2} y'$

Etapa 3

Como $- 11$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 11$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$48 x^{3} y y' + 72 x^{2} y^{2} - 24 y^{2} y' = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Subtraia $72 x^{2} y^{2}$ dos dois lados da equação.

$48 x^{3} y y' - 24 y^{2} y' = - 72 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.2

Fatore $24 y y'$ de $48 x^{3} y y' - 24 y^{2} y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $24 y y'$ de $48 x^{3} y y'$ .

$24 y y' (2 x^{3}) - 24 y^{2} y' = - 72 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.2.2

Fatore $24 y y'$ de $- 24 y^{2} y'$ .

$24 y y' (2 x^{3}) + 24 y y' (- y) = - 72 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.2.3

Fatore $24 y y'$ de $24 y y' (2 x^{3}) + 24 y y' (- y)$ .

$24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$ por $24 y (2 x^{3} - y)$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $24 y y' (2 x^{3} - y) = - 72 x^{2} y^{2}$ por $24 y (2 x^{3} - y)$ .

$\frac{24 y y' (2 x^{3} - y)}{24 y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $24$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{24 y y' (2 x^{3} - y)}{24 y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y y' (2 x^{3} - y)}{y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $y$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y y' (2 x^{3} - y)}{y (2 x^{3} - y)} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Etapa 5.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (2 x^{3} - y)}{2 x^{3} - y} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Etapa 5.3.2.3

Cancele o fator comum de $2 x^{3} - y$ .

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Etapa 5.3.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 x^{3} - y)}{2 x^{3} - y} = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Etapa 5.3.2.3.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 72 x^{2} y^{2}}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Cancele o fator comum de $- 72$ e $24$ .

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Etapa 5.3.3.1.1

Fatore $24$ de $- 72 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 y (2 x^{3} - y)}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $24$ de $24 y (2 x^{3} - y)$ .

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 (y (2 x^{3} - y))}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{24 (- 3 x^{2} y^{2})}{24 (y (2 x^{3} - y))}$

Etapa 5.3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y^{2}}{y (2 x^{3} - y)}$

Etapa 5.3.3.2

Cancele o fator comum de $y^{2}$ e $y$ .

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Etapa 5.3.3.2.1

Fatore $y$ de $- 3 x^{2} y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y (2 x^{3} - y)}$

Etapa 5.3.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = \frac{y (- 3 x^{2} y)}{y (2 x^{3} - y)}$

Etapa 5.3.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = \frac{- 3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$

Etapa 5.3.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} y}{2 x^{3} - y}$