Cálculo Exemplos

$x y^{2} - x^{3} y = 6$

Etapa 1

Diferencie os dois lados da equação.

$\frac{d}{d x} (x y^{2} - x^{3} y) = \frac{d}{d x} (6)$

Etapa 2

Diferencie o lado esquerdo da equação.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x y^{2} - x^{3} y$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

$\frac{d}{d x} [x y^{2}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [x y^{2}]$ .

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Etapa 2.2.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = y^{2}$ .

$x \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = y$ .

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Etapa 2.2.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Etapa 2.2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Etapa 2.2.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $y$ .

$x (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Etapa 2.2.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$x (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Etapa 2.2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x (2 y y') + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Etapa 2.2.5

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$2 \cdot x y y' + y^{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Etapa 2.2.6

Multiplique $y^{2}$ por $1$ .

$2 x y y' + y^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{3} y]$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- x^{3} y]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{3} y$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{3} y]$ .

$2 x y y' + y^{2} - \frac{d}{d x} [x^{3} y]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{3}$ e $g (x) = y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 2.3.3

Reescreva $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Etapa 2.3.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + y (3 x^{2}))$

Etapa 2.3.5

Mova $3$ para a esquerda de $y$ .

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y' + 3 y x^{2})$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$2 x y y' + y^{2} - (x^{3} y') - (3 y x^{2})$

Etapa 2.4.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 x y y' + y^{2} - x^{3} y' - 3 y x^{2}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y$

Etapa 3

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6$ em relação a $x$ é $0$ .

$0$

Etapa 4

Reformule a equação definindo o lado esquerdo igual ao lado direito.

$y^{2} + 2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = 0$

Etapa 5

Resolva $y'$ .

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Etapa 5.1

Mova todos os termos que não contêm $y'$ para o lado direito da equação.

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Etapa 5.1.1

Subtraia $y^{2}$ dos dois lados da equação.

$2 x y y' - x^{3} y' - 3 x^{2} y = - y^{2}$

Etapa 5.1.2

Some $3 x^{2} y$ aos dois lados da equação.

$2 x y y' - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Etapa 5.2

Fatore $x y'$ de $2 x y y' - x^{3} y'$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $x y'$ de $2 x y y'$ .

$x y' (2 y) - x^{3} y' = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Etapa 5.2.2

Fatore $x y'$ de $- x^{3} y'$ .

$x y' (2 y) + x y' (- x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Etapa 5.2.3

Fatore $x y'$ de $x y' (2 y) + x y' (- x^{2})$ .

$x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$

Etapa 5.3

Divida cada termo em $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ por $x (2 y - x^{2})$ e simplifique.

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Etapa 5.3.1

Divida cada termo em $x y' (2 y - x^{2}) = - y^{2} + 3 x^{2} y$ por $x (2 y - x^{2})$ .

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

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Etapa 5.3.2.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x y' (2 y - x^{2})}{x (2 y - x^{2})} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.2.1.2

Reescreva a expressão.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.2.2

Cancele o fator comum de $2 y - x^{2}$ .

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Etapa 5.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{y' (2 y - x^{2})}{2 y - x^{2}} = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.2.2.2

Divida $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3

Simplifique o lado direito.

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Etapa 5.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 5.3.3.1.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x^{2} y}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

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Etapa 5.3.3.1.2.1

Fatore $x$ de $3 x^{2} y$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 5.3.3.1.2.2.1

Cancele o fator comum.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{x (3 x y)}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.1.2.2.2

Reescreva a expressão.

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$

Etapa 5.3.3.2

Para escrever $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y}{2 y - x^{2}} \cdot \frac{x}{x}$

Etapa 5.3.3.3

Escreva cada expressão com um denominador comum de $x (2 y - x^{2})$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 5.3.3.3.1

Multiplique $\frac{3 x y}{2 y - x^{2}}$ por $\frac{x}{x}$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{(2 y - x^{2}) x}$

Etapa 5.3.3.3.2

Reordene os fatores de $(2 y - x^{2}) x$ .

$y' = - \frac{y^{2}}{x (2 y - x^{2})} + \frac{3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$y' = \frac{- y^{2} + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 5.3.3.5.1

Fatore $y$ de $- y^{2} + 3 x y x$ .

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Etapa 5.3.3.5.1.1

Fatore $y$ de $- y^{2}$ .

$y' = \frac{y (- y) + 3 x y x}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.5.1.2

Fatore $y$ de $3 x y x$ .

$y' = \frac{y (- y) + y (3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.5.1.3

Fatore $y$ de $y (- y) + y (3 x \cdot x)$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x \cdot x)}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.5.2

Multiplique $x$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 5.3.3.5.2.1

Mova $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 (x \cdot x))}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.5.2.2

Multiplique $x$ por $x$ .

$y' = \frac{y (- y + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.6

Simplifique com fatoração.

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Etapa 5.3.3.6.1

Fatore $- 1$ de $- y$ .

$y' = \frac{y (- (y) + 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.6.2

Fatore $- 1$ de $3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y (- (y) - (- 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.6.3

Fatore $- 1$ de $- (y) - (- 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.6.4

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.3.6.4.1

Reescreva $- (y - 3 x^{2})$ como $- 1 (y - 3 x^{2})$ .

$y' = \frac{y (- 1 (y - 3 x^{2}))}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 5.3.3.6.4.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$y' = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$

Etapa 6

Substitua $y'$ por $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{y (y - 3 x^{2})}{x (2 y - x^{2})}$