Cálculo Exemplos

$f (x) = \frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$

Etapa 1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\frac{4}{x^{2}} - 10 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2

Avalie $\frac{d}{d x} [\frac{4}{x^{2}}]$ .

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Etapa 2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{4}{x^{2}}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{2}}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.2

Reescreva $\frac{1}{x^{2}}$ como ${(x^{2})}^{- 1}$ .

$4 \frac{d}{d x} [{(x^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{- 1}$ e $g (x) = x^{2}$ .

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Etapa 2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $x^{2}$ .

$4 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$4 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $x^{2}$ .

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$4 (- {(x^{2})}^{- 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.5

Multiplique os expoentes em ${(x^{2})}^{- 2}$ .

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Etapa 2.5.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 (- x^{2 \cdot - 2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.5.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$4 (- x^{- 4} (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.6

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$4 (- 2 x^{- 4} x) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.7

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$4 (- 2 (x^{1} x^{- 4})) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.8

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$4 (- 2 x^{1 - 4}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.9

Subtraia $4$ de $1$ .

$4 (- 2 x^{- 3}) + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 2.10

Multiplique $- 2$ por $4$ .

$- 8 x^{- 3} + \frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$

Etapa 3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 10 x^{3}]$ .

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Etapa 3.1

Como $- 10$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 10 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$- 8 x^{- 3} - 10 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$- 8 x^{- 3} - 10 (3 x^{2})$

Etapa 3.3

Multiplique $3$ por $- 10$ .

$- 8 x^{- 3} - 30 x^{2}$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 8 \frac{1}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Etapa 4.2

Combine os termos.

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Etapa 4.2.1

Combine $- 8$ e $\frac{1}{x^{3}}$ .

$\frac{- 8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Etapa 4.2.2

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{8}{x^{3}} - 30 x^{2}$

Etapa 4.3

Reordene os termos.

$- 30 x^{2} - \frac{8}{x^{3}}$