Cálculo Exemplos

$y = \sin (x) \tan (x)$

Etapa 1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = \sin (x)$ e $g (x) = \tan (x)$ .

$\sin (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)] + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 2

A derivada de $\tan (x)$ em relação a $x$ é $\sec^{2} (x)$ .

$\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Etapa 3

A derivada de $\sin (x)$ em relação a $x$ é $\cos (x)$ .

$\sin (x) \sec^{2} (x) + \tan (x) \cos (x)$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Reordene os termos.

$\sec^{2} (x) \sin (x) + \cos (x) \tan (x)$

Etapa 4.2

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $\sec (x)$ em termos de senos e cossenos.

${(\frac{1}{\cos (x)})}^{2} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra do produto a $\frac{1}{\cos (x)}$ .

$\frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)$

Etapa 4.2.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$\frac{1}{\cos^{2} (x)} \sin (x) + \cos (x) \tan (x)$

Etapa 4.2.4

Combine $\frac{1}{\cos^{2} (x)}$ e $\sin (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \cos (x) \tan (x)$

Etapa 4.2.5

Reescreva em termos de senos e cossenos e, depois, cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.5.1

Reordene $\cos (x)$ e $\tan (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \tan (x) \cos (x)$

Etapa 4.2.5.2

Reescreva $\cos (x) \tan (x)$ em termos de senos e cossenos.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \frac{\sin (x)}{\cos (x)} \cos (x)$

Etapa 4.2.5.3

Cancele os fatores comuns.

$\frac{\sin (x)}{\cos^{2} (x)} + \sin (x)$

Etapa 4.3

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.3.1

Fatore $\cos (x)$ de $\cos^{2} (x)$ .

$\frac{\sin (x)}{\cos (x) \cos (x)} + \sin (x)$

Etapa 4.3.2

Separe as frações.

$\frac{1}{\cos (x)} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \sin (x)$

Etapa 4.3.3

Converta de $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ em $\tan (x)$ .

$\frac{1}{\cos (x)} \tan (x) + \sin (x)$

Etapa 4.3.4

Converta de $\frac{1}{\cos (x)}$ em $\sec (x)$ .

$\sec (x) \tan (x) + \sin (x)$