Cálculo Exemplos

$y = x \sqrt{4 - x}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{4 - x}$ como ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [x {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [{(4 - x)}^{\frac{1}{2}}] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ e $g (x) = 4 - x$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 - x$ .

$x (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 - x$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 4

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 5

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7

Simplifique o numerador.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 7.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8

Combine frações.

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Etapa 8.1

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x (\frac{1}{2} {(4 - x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.2

Combine $\frac{1}{2}$ e ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$x (\frac{{(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.3

Mova ${(4 - x)}^{- \frac{1}{2}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x (\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 8.4

Combine $\frac{1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $x$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [4 - x] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 9

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 - x$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [4] + \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 10

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4$ em relação a $x$ é $0$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 11

Some $0$ e $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [- x] + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 12

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- \frac{d}{d x} [x]) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 13

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} (- 1 \cdot 1) + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14

Combine frações.

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Etapa 14.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} \cdot - 1 + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14.2

Combine $\frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ e $- 1$ .

$\frac{x \cdot - 1}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 14.3.1

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{- 1 \cdot x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14.3.2

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$\frac{- x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 14.3.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 15

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 1$

Etapa 16

Multiplique ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$

Etapa 17

Para escrever ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 18

Combine ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ e $\frac{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$- \frac{x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 19

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} (2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20

Multiplique ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ por ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ somando os expoentes.

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Etapa 20.1

Mova ${(4 - x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} {(4 - x)}^{\frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20.3

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{1 + 1}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20.4

Some $1$ e $1$ .

$\frac{- x + {(4 - x)}^{\frac{2}{2}} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 20.5

Divida $2$ por $2$ .

$\frac{- x + {(4 - x)}^{1} \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 21

Simplifique ${(4 - x)}^{1} \cdot 2$ .

$\frac{- x + (4 - x) \cdot 2}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 22

Mova $2$ para a esquerda de $4 - x$ .

$\frac{- x + 2 \cdot (4 - x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23

Simplifique.

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Etapa 23.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\frac{- x + 2 \cdot 4 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2

Simplifique o numerador.

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Etapa 23.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 23.2.1.1

Multiplique $2$ por $4$ .

$\frac{- x + 8 + 2 (- x)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{- x + 8 - 2 x}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.2.2

Subtraia $2 x$ de $- x$ .

$\frac{- 3 x + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.3

Fatore $- 1$ de $- 3 x$ .

$\frac{- (3 x) + 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.4

Reescreva $8$ como $- 1 (- 8)$ .

$\frac{- (3 x) - 1 (- 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.5

Fatore $- 1$ de $- (3 x) - 1 (- 8)$ .

$\frac{- (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.6

Reescreva $- (3 x - 8)$ como $- 1 (3 x - 8)$ .

$\frac{- 1 (3 x - 8)}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 23.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x - 8}{2 {(4 - x)}^{\frac{1}{2}}}$