Cálculo Exemplos

$e^{3 t \sin (2 t)}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = 3 t \sin (2 t)$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $3 t \sin (2 t)$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$e^{u_{1}} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $3 t \sin (2 t)$ .

$e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [3 t \sin (2 t)]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do múltiplo constante.

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Etapa 2.1

Como $3$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $3 t \sin (2 t)$ em relação a $t$ é $3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$ .

$e^{3 t \sin (2 t)} (3 \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)])$

Etapa 2.2

Mova $3$ para a esquerda de $e^{3 t \sin (2 t)}$ .

$3 \cdot e^{3 t \sin (2 t)} \frac{d}{d t} [t \sin (2 t)]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ é $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ , em que $f (t) = t$ e $g (t) = \sin (2 t)$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t \frac{d}{d t} [\sin (2 t)] + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = 2 t$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $2 t$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $2 t$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \frac{d}{d t} [2 t]) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 5

Diferencie.

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Etapa 5.1

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \frac{d}{d t} [t])) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 5.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) (2 \cdot 1)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 5.3

Simplifique a expressão.

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Etapa 5.3.1

Multiplique $2$ por $1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (\cos (2 t) \cdot 2) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 5.3.2

Mova $2$ para a esquerda de $\cos (2 t)$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cdot \cos (2 t)) + \sin (2 t) \frac{d}{d t} [t])$

Etapa 5.4

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t) \cdot 1)$

Etapa 5.5

Multiplique $\sin (2 t)$ por $1$ .

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t)) + \sin (2 t))$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 e^{3 t \sin (2 t)} (t (2 \cos (2 t))) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$

Etapa 6.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$6 e^{3 t \sin (2 t)} t \cos (2 t) + 3 e^{3 t \sin (2 t)} \sin (2 t)$