Cálculo Exemplos

$\sin^{2} (e^{\sin^{2} (t)})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \sin (e^{\sin^{2} (t)})$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $\sin (e^{\sin^{2} (t)})$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ é $n {u_{1}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 u_{1} \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $\sin (e^{\sin^{2} (t)})$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [\sin (e^{\sin^{2} (t)})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = \sin (t)$ e $g (t) = e^{\sin^{2} (t)}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $e^{\sin^{2} (t)}$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

Etapa 2.2

A derivada de $\sin (u_{2})$ em relação a $u_{2}$ é $\cos (u_{2})$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $e^{\sin^{2} (t)}$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) (\cos (e^{\sin^{2} (t)}) \frac{d}{d t} [e^{\sin^{2} (t)}])$

Etapa 3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = e^{t}$ e $g (t) = \sin^{2} (t)$ .

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Etapa 3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{3}$ como $\sin^{2} (t)$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (\frac{d}{d u_{3}} [e^{u_{3}}] \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

Etapa 3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{3}} [a^{u_{3}}]$ é $a^{u_{3}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (e^{u_{3}} \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

Etapa 3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{3}$ por $\sin^{2} (t)$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) (e^{\sin^{2} (t)} \frac{d}{d t} [\sin^{2} (t)])$

Etapa 4

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ é $f' (g (t)) g' (t)$ , em que $f (t) = t^{2}$ e $g (t) = \sin (t)$ .

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Etapa 4.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{4}$ como $\sin (t)$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{2}] \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 4.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u_{4}} [{u_{4}}^{n}]$ é $n {u_{4}}^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (2 u_{4} \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 4.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{4}$ por $\sin (t)$ .

$2 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (2 \sin (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 5

Multiplique $2$ por $2$ .

$4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} (\sin (t) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Etapa 6

A derivada de $\sin (t)$ em relação a $t$ é $\cos (t)$ .

$4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} \sin (t) \cos (t)$

Etapa 7

Reordene os fatores de $4 \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (e^{\sin^{2} (t)}) e^{\sin^{2} (t)} \sin (t) \cos (t)$ .

$4 e^{\sin^{2} (t)} \cos (e^{\sin^{2} (t)}) \cos (t) \sin (e^{\sin^{2} (t)}) \sin (t)$