Cálculo Exemplos

$y = 3 x (6 x - 5 x^{2})$

Etapa 1

Como $3$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $3 x (6 x - 5 x^{2})$ em relação a $x$ é $3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x (6 x - 5 x^{2})]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = 6 x - 5 x^{2}$ .

$3 (x \frac{d}{d x} [6 x - 5 x^{2}] + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3

Diferencie.

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Etapa 3.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $6 x - 5 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]$ .

$3 (x (\frac{d}{d x} [6 x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.2

Como $6$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $6 x$ em relação a $x$ é $6 \frac{d}{d x} [x]$ .

$3 (x (6 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x (6 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.4

Multiplique $6$ por $1$ .

$3 (x (6 + \frac{d}{d x} [- 5 x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.5

Como $- 5$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 5 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 (x (6 - 5 \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$3 (x (6 - 5 (2 x)) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.7

Multiplique $2$ por $- 5$ .

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 3.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$3 (x (6 - 10 x) + (6 x - 5 x^{2}) \cdot 1)$

Etapa 3.9

Multiplique $6 x - 5 x^{2}$ por $1$ .

$3 (x (6 - 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

Etapa 4

Simplifique.

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Etapa 4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x \cdot 6 + x (- 10 x) + 6 x - 5 x^{2})$

Etapa 4.2

Aplique a propriedade distributiva.

$3 (x \cdot 6) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Etapa 4.3

Combine os termos.

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Etapa 4.3.1

Mova $6$ para a esquerda de $x$ .

$3 (6 \cdot x) + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Etapa 4.3.2

Multiplique $6$ por $3$ .

$18 x + 3 (x (- 10 x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Etapa 4.3.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x)) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Etapa 4.3.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$18 x + 3 (- 10 (x^{1} x^{1})) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Etapa 4.3.5

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$18 x + 3 (- 10 x^{1 + 1}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Etapa 4.3.6

Some $1$ e $1$ .

$18 x + 3 (- 10 x^{2}) + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Etapa 4.3.7

Multiplique $- 10$ por $3$ .

$18 x - 30 x^{2} + 3 (6 x) + 3 (- 5 x^{2})$

Etapa 4.3.8

Multiplique $6$ por $3$ .

$18 x - 30 x^{2} + 18 x + 3 (- 5 x^{2})$

Etapa 4.3.9

Some $18 x$ e $18 x$ .

$- 30 x^{2} + 36 x + 3 (- 5 x^{2})$

Etapa 4.3.10

Multiplique $- 5$ por $3$ .

$- 30 x^{2} + 36 x - 15 x^{2}$

Etapa 4.3.11

Subtraia $15 x^{2}$ de $- 30 x^{2}$ .

$- 45 x^{2} + 36 x$