Cálculo Exemplos

$\arctan (e^{x})$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \arctan (x)$ e $g (x) = e^{x}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $e^{x}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.2

A derivada de $\arctan (u)$ em relação a $u$ é $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $e^{x}$ .

$\frac{1}{1 + {(e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2

Multiplique os expoentes em ${(e^{x})}^{2}$ .

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Etapa 2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 2.2

Mova $2$ para a esquerda de $x$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Etapa 3

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ é $a^{x} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x}} e^{x}$

Etapa 4

Combine $\frac{1}{1 + e^{2 x}}$ e $e^{x}$ .

$\frac{e^{x}}{1 + e^{2 x}}$