Cálculo Exemplos

${(4 x - x^{2})}^{100}$

Etapa 1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{100}$ e $g (x) = 4 x - x^{2}$ .

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Etapa 1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $4 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{100}] \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = 100$ .

$100 u^{99} \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Etapa 1.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $4 x - x^{2}$ .

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} \frac{d}{d x} [4 x - x^{2}]$

Etapa 2

Diferencie.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x - x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.2

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.4

Multiplique $4$ por $1$ .

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Etapa 2.5

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Etapa 2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 - (2 x))$

Etapa 2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$100 {(4 x - x^{2})}^{99} (4 - 2 x)$