Cálculo Exemplos

$\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$

Etapa 1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[3]{\frac{8}{x}}$ como ${(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3}}]$

Etapa 2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ e $g (x) = \frac{8}{x}$ .

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Etapa 2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $\frac{8}{x}$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Etapa 2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ é $n u^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{3}$ .

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Etapa 2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $\frac{8}{x}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Etapa 3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Etapa 4

Combine $- 1$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Etapa 5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Etapa 6

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.1

Multiplique $- 1$ por $3$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Etapa 6.2

Subtraia $3$ de $1$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Etapa 7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{8}{x}]$

Etapa 8

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $\frac{8}{x}$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$\frac{1}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (8 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}])$

Etapa 9

Combine frações.

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Etapa 9.1

Combine $8$ e $\frac{1}{3}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

Etapa 9.2

Reescreva $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

Etapa 10

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = - 1$ .

$\frac{8}{3} {(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- x^{- 2})$

Etapa 11

Combine frações.

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Etapa 11.1

Combine $\frac{8}{3}$ e $x^{- 2}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8 x^{- 2}}{3})$

Etapa 11.2

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${(\frac{8}{x})}^{- \frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Altere o sinal do expoente reescrevendo a base como seu inverso.

${(\frac{x}{8})}^{\frac{2}{3}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Etapa 12.2

Aplique a regra do produto a $\frac{x}{8}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{8^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Etapa 12.3

Combine os termos.

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Etapa 12.3.1

Reescreva $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{{(2^{3})}^{\frac{2}{3}}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Etapa 12.3.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Etapa 12.3.3

Cancele o fator comum de $3$ .

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Etapa 12.3.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{3 (\frac{2}{3})}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Etapa 12.3.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{2^{2}} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Etapa 12.3.4

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4} (- \frac{8}{3 x^{2}})$

Etapa 12.3.5

Multiplique $\frac{x^{\frac{2}{3}}}{4}$ por $\frac{8}{3 x^{2}}$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{4 (3 x^{2})}$

Etapa 12.3.6

Multiplique $3$ por $4$ .

$- \frac{x^{\frac{2}{3}} \cdot 8}{12 x^{2}}$

Etapa 12.3.7

Mova $8$ para a esquerda de $x^{\frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8 \cdot x^{\frac{2}{3}}}{12 x^{2}}$

Etapa 12.3.8

Mova $x^{\frac{2}{3}}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$- \frac{8}{12 x^{2} x^{- \frac{2}{3}}}$

Etapa 12.3.9

Multiplique $x^{2}$ por $x^{- \frac{2}{3}}$ somando os expoentes.

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Etapa 12.3.9.1

Mova $x^{- \frac{2}{3}}$ .

$- \frac{8}{12 (x^{- \frac{2}{3}} x^{2})}$

Etapa 12.3.9.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2}}$

Etapa 12.3.9.3

Para escrever $2$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}}}$

Etapa 12.3.9.4

Combine $2$ e $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{8}{12 x^{- \frac{2}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}}}$

Etapa 12.3.9.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 2 \cdot 3}{3}}}$

Etapa 12.3.9.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 12.3.9.6.1

Multiplique $2$ por $3$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{- 2 + 6}{3}}}$

Etapa 12.3.9.6.2

Some $- 2$ e $6$ .

$- \frac{8}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 12.3.10

Fatore $4$ de $8$ .

$- \frac{4 (2)}{12 x^{\frac{4}{3}}}$

Etapa 12.3.11

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 12.3.11.1

Fatore $4$ de $12 x^{\frac{4}{3}}$ .

$- \frac{4 (2)}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 12.3.11.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{4 \cdot 2}{4 (3 x^{\frac{4}{3}})}$

Etapa 12.3.11.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{2}{3 x^{\frac{4}{3}}}$