Cálculo Exemplos

$\ln (\tan (x))$

Etapa 1

Encontre as assíntotas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Em qualquer $y = \tan (x)$ , as assíntotas verticais ocorrem em $x = \frac{π}{2} + n π$ , em que $n$ é um número inteiro. Use o período básico de $y = \tan (x)$ , $(- \frac{π}{2}, \frac{π}{2})$ , para encontrar as assíntotas verticais de $y = \ln (\tan (x))$ . Defina a parte interna da função da tangente e, $b x + c$ , para $y = a \tan (b x + c) + d$ igual a $- \frac{π}{2}$ para encontrar onde a assíntota vertical ocorre para $y = \ln (\tan (x))$ .

$\tan (x) = - \frac{π}{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x$ .

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Etapa 1.2.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (- \frac{π}{2})$

Etapa 1.2.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.2.1

Avalie $\arctan (- \frac{π}{2})$ .

$x = - 1.00388482$

Etapa 1.2.3

A função da tangente é negativa no segundo e no quarto quadrantes. Para encontrar a segunda solução, subtraia o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no terceiro quadrante.

$x = - 1.00388482 - (3.14159265)$

Etapa 1.2.4

Simplifique a expressão para encontrar a segunda solução.

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Etapa 1.2.4.1

Some $2 π$ a $- 1.00388482 - (3.14159265)$ .

$x = - 1.00388482 - (3.14159265) + 2 π$

Etapa 1.2.4.2

O ângulo resultante de $2.13770783$ é positivo e coterminal com $- 1.00388482 - (3.14159265)$ .

$x = 2.13770783$

Etapa 1.2.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 1.2.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.2.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 1.2.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 1.2.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.2.6

Some $π$ com todos os ângulos negativos para obter os ângulos positivos.

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Etapa 1.2.6.1

Some $π$ com $- 1.00388482$ para encontrar o ângulo positivo.

$- 1.00388482 + π$

Etapa 1.2.6.2

Substitua pela aproximação decimal.

$3.14159265 - 1.00388482$

Etapa 1.2.6.3

Subtraia $1.00388482$ de $3.14159265$ .

$2.13770783$

Etapa 1.2.6.4

Liste os novos ângulos.

$x = 2.13770783$

Etapa 1.2.7

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 2.13770783 + π n, 2.13770783 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.2.8

Consolide $2.13770783 + π n$ e $2.13770783 + π n$ em $2.13770783 + π n$ .

$x = 2.13770783 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.3

Defina a parte interna da função da tangente $\tan (x)$ como igual a $\frac{π}{2}$ .

$\tan (x) = \frac{π}{2}$

Etapa 1.4

Resolva $x$ .

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Etapa 1.4.1

Obtenha a tangente inversa dos dois lados da equação para extrair $x$ de dentro da tangente.

$x = \arctan (\frac{π}{2})$

Etapa 1.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.4.2.1

Avalie $\arctan (\frac{π}{2})$ .

$x = 1.00388482$

Etapa 1.4.3

A função da tangente é positiva no primeiro e no terceiro quadrantes. Para encontrar a segunda solução, some o ângulo de referência de $π$ para determinar a solução no quarto quadrante.

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Etapa 1.4.4

Resolva $x$ .

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Etapa 1.4.4.1

Remova os parênteses.

$x = 3.14159265 + 1.00388482$

Etapa 1.4.4.2

Remova os parênteses.

$x = (3.14159265) + 1.00388482$

Etapa 1.4.4.3

Some $3.14159265$ e $1.00388482$ .

$x = 4.14547747$

Etapa 1.4.5

Encontre o período de $\tan (x)$ .

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Etapa 1.4.5.1

O período da função pode ser calculado ao usar $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Etapa 1.4.5.2

Substitua $b$ por $1$ na fórmula do período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Etapa 1.4.5.3

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 1.4.5.4

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.4.6

O período da função $\tan (x)$ é $π$ . Portanto, os valores se repetirão a cada $π$ radianos nas duas direções.

$x = 1.00388482 + π n, 4.14547747 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.4.7

Consolide $1.00388482 + π n$ e $4.14547747 + π n$ em $1.00388482 + π n$ .

$x = 1.00388482 + π n$ , para qualquer número inteiro $n$

Etapa 1.5

O período básico para $y = \ln (\tan (x))$ ocorrerá em $(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$ , em que $2.13770783 + π n$ e $1.00388482 + π n$ são assíntotas verticais.

$(2.13770783 + π n, 1.00388482 + π n)$

Etapa 1.6

Encontre o período $\frac{π}{| b |}$ para descobrir onde existem assíntotas verticais.

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Etapa 1.6.1

O valor absoluto é a distância entre um número e zero. A distância entre $0$ e $1$ é $1$ .

$\frac{π}{1}$

Etapa 1.6.2

Divida $π$ por $1$ .

$π$

Etapa 1.7

As assíntotas verticais de $y = \ln (\tan (x))$ ocorrem em $2.13770783 + π n$ , $1.00388482 + π n$ e a cada $π n$ , em que $n$ é um número inteiro.

$π n$

Etapa 1.8

Existem somente assíntotas verticais para funções de tangente e cotangente.

Assíntotas verticais: $x = 2.13770783 + π n + π n$ para qualquer número inteiro $n$

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Assíntotas verticais: $x = 2.13770783 + π n + π n$ para qualquer número inteiro $n$

Nenhuma assíntota horizontal

Nenhuma assíntota oblíqua

Etapa 2

Encontre o ponto em $x = 1$ .

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Etapa 2.1

Substitua a variável $x$ por $1$ na expressão.

$f (1) = \ln (\tan (1))$

Etapa 2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 2.2.1

Avalie $\tan (1)$ .

$f (1) = \ln (1.55740772)$

Etapa 2.2.2

A resposta final é $\ln (1.55740772)$ .

$\ln (1.55740772)$

Etapa 3

Encontre o ponto em $x = 4$ .

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Etapa 3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f (4) = \ln (\tan (4))$

Etapa 3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 3.2.1

Avalie $\tan (4)$ .

$f (4) = \ln (1.15782128)$

Etapa 3.2.2

A resposta final é $\ln (1.15782128)$ .

$\ln (1.15782128)$

Etapa 4

Encontre o ponto em $x = 7$ .

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Etapa 4.1

Substitua a variável $x$ por $7$ na expressão.

$f (7) = \ln (\tan (7))$

Etapa 4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 4.2.1

Avalie $\tan (7)$ .

$f (7) = \ln (0.87144798)$

Etapa 4.2.2

A resposta final é $\ln (0.87144798)$ .

$\ln (0.87144798)$

Etapa 5

A função do logaritmo pode ser representada graficamente usando a assíntota vertical em $x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$ e os pontos $(1, 0.44302272), (4, 0.14654003), (7, - 0.1375991)$ .

Assíntota vertical: $x = 2.13770783 + π n + π n (f o r) (a n y) (i n t e g e r) n$

$\begin{array}{c} x & y \\ 1 & 0.443 \\ 4 & 0.147 \\ 7 & - 0.138 \end{array}$

Etapa 6