Cálculo Exemplos

$y = \frac{1}{2} x^{2}$ , $y = - x^{2} + 6$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

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Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Etapa 1.2

Resolva $\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$ para $x$ .

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Etapa 1.2.1

Simplifique $\frac{1}{2} x^{2}$ .

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Etapa 1.2.1.1

Reescreva.

$0 + 0 + \frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Etapa 1.2.1.2

Simplifique somando os zeros.

$\frac{1}{2} x^{2} = - x^{2} + 6$

Etapa 1.2.1.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} = - x^{2} + 6$

Etapa 1.2.2

Mova todos os termos que contêm $x$ para o lado esquerdo da equação.

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Etapa 1.2.2.1

Some $x^{2}$ aos dois lados da equação.

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} = 6$

Etapa 1.2.2.2

Para escrever $x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + x^{2} \cdot \frac{2}{2} = 6$

Etapa 1.2.2.3

Combine $x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x^{2}}{2} + \frac{x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Etapa 1.2.2.4

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{x^{2} + x^{2} \cdot 2}{2} = 6$

Etapa 1.2.2.5

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.2.2.5.1

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{x^{2} + 2 \cdot x^{2}}{2} = 6$

Etapa 1.2.2.5.2

Some $x^{2}$ e $2 x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{2} = 6$

Etapa 1.2.3

Multiplique os dois lados da equação por $\frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.4

Simplifique os dois lados da equação.

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Etapa 1.2.4.1

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot \frac{3 x^{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1.1

Combine.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.4.1.1.2

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 1.2.4.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (3 x^{2})}{3 \cdot 2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.4.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.4.1.1.3

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1.1.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{3 x^{2}}{3} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.4.1.1.3.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot 6$

Etapa 1.2.4.2

Simplifique o lado direito.

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Etapa 1.2.4.2.1

Simplifique $\frac{2}{3} \cdot 6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Cancele o fator comum de $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1.1

Fatore $3$ de $6$ .

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 (2))$

Etapa 1.2.4.2.1.1.2

Cancele o fator comum.

$x^{2} = \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot 2)$

Etapa 1.2.4.2.1.1.3

Reescreva a expressão.

$x^{2} = 2 \cdot 2$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Multiplique $2$ por $2$ .

$x^{2} = 4$

Etapa 1.2.5

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{4}$

Etapa 1.2.6

Simplifique $\pm \sqrt{4}$ .

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Etapa 1.2.6.1

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Etapa 1.2.6.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 2$

Etapa 1.2.7

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

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Etapa 1.2.7.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = 2$

Etapa 1.2.7.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - 2$

Etapa 1.2.7.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = 2, - 2$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 2$ .

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Etapa 1.3.1

Substitua $2$ por $x$ .

$y = - {(2)}^{2} + 6$

Etapa 1.3.2

Substitua $2$ por $x$ em $y = - {(2)}^{2} + 6$ e resolva $y$ .

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Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = - 2^{2} + 6$

Etapa 1.3.2.2

Simplifique $- 2^{2} + 6$ .

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Etapa 1.3.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.2.2.1.1

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$y = - 1 \cdot 4 + 6$

Etapa 1.3.2.2.1.2

Multiplique $- 1$ por $4$ .

$y = - 4 + 6$

Etapa 1.3.2.2.2

Some $- 4$ e $6$ .

$y = 2$

Etapa 1.4

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

$(2, 2)$

$(- 2, 2)$

Etapa 2

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$y = \frac{x^{2}}{2}$

Etapa 3

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 d x - \int_{- 2}^{2} \frac{x^{2}}{2} d x$

Etapa 4

Integre para encontrar a área entre $- 2$ e $2$ .

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Etapa 4.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} + 6 - (\frac{x^{2}}{2}) d x$

Etapa 4.2

Para escrever $- x^{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\int_{- 2}^{2} - x^{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6 d x$

Etapa 4.3

Simplifique os termos.

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Etapa 4.3.1

Combine $- x^{2}$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{- x^{2} \cdot 2}{2} - \frac{x^{2}}{2} + 6$

Etapa 4.3.2

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} \frac{- x^{2} \cdot 2 - x^{2}}{2} + 6 d x$

Etapa 4.4

Simplifique cada termo.

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Etapa 4.4.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.4.1.1

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2} \cdot 2 - x^{2}$ .

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Etapa 4.4.1.1.1

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2} \cdot 2$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) - x^{2}}{2} + 6$

Etapa 4.4.1.1.2

Fatore $x^{2}$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1}{2} + 6$

Etapa 4.4.1.1.3

Fatore $x^{2}$ de $x^{2} (- 1 \cdot 2) + x^{2} \cdot - 1$ .

$\frac{x^{2} (- 1 \cdot 2 - 1)}{2} + 6$

Etapa 4.4.1.2

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$\frac{x^{2} (- 2 - 1)}{2} + 6$

Etapa 4.4.1.3

Subtraia $1$ de $- 2$ .

$\frac{x^{2} \cdot - 3}{2} + 6$

Etapa 4.4.2

Mova $- 3$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{- 3 \cdot x^{2}}{2} + 6$

Etapa 4.4.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{3 x^{2}}{2} + 6$

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} + 6 d x$

Etapa 4.5

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 2}^{2} - \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Etapa 4.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$- \int_{- 2}^{2} \frac{3 x^{2}}{2} d x + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Etapa 4.7

Como $\frac{3}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{3}{2}$ para fora da integral.

$- (\frac{3}{2} \int_{- 2}^{2} x^{2} d x) + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Etapa 4.8

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + \int_{- 2}^{2} 6 d x$

Etapa 4.9

Aplique a regra da constante.

$- \frac{3}{2} \frac{1}{3} x^{3}]_{- 2}^{2} + 6 x]_{- 2}^{2}$

Etapa 4.10

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.10.1

Avalie $\frac{1}{3} x^{3}$ em $2$ e em $- 2$ .

$- \frac{3}{2} ((\frac{1}{3} \cdot 2^{3}) - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 x]_{- 2}^{2}$

Etapa 4.10.2

Avalie $6 x$ em $2$ e em $- 2$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 2^{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3

Simplifique.

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Etapa 4.10.3.1

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{1}{3} \cdot 8 - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $8$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} {(- 2)}^{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.3

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} - \frac{1}{3} \cdot - 8) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.4

Multiplique $- 8$ por $- 1$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + 8 (\frac{1}{3})) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.5

Combine $8$ e $\frac{1}{3}$ .

$- \frac{3}{2} (\frac{8}{3} + \frac{8}{3}) + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{8 + 8}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.7

Some $8$ e $8$ .

$- \frac{3}{2} \cdot \frac{16}{3} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.8

Multiplique $\frac{16}{3}$ por $\frac{3}{2}$ .

$- \frac{16 \cdot 3}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.9

Multiplique $16$ por $3$ .

$- \frac{48}{3 \cdot 2} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.10

Multiplique $3$ por $2$ .

$- \frac{48}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.11

Cancele o fator comum de $48$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.11.1

Fatore $6$ de $48$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.11.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.10.3.11.2.1

Fatore $6$ de $6$ .

$- \frac{6 \cdot 8}{6 (1)} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.11.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{6 \cdot 8}{6 \cdot 1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.11.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{8}{1} + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.11.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$- 1 \cdot 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.12

Multiplique $- 1$ por $8$ .

$- 8 + 6 \cdot 2 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.13

Multiplique $6$ por $2$ .

$- 8 + 12 - 6 \cdot - 2$

Etapa 4.10.3.14

Multiplique $- 6$ por $- 2$ .

$- 8 + 12 + 12$

Etapa 4.10.3.15

Some $12$ e $12$ .

$- 8 + 24$

Etapa 4.10.3.16

Some $- 8$ e $24$ .

$16$

Etapa 5