Cálculo Exemplos

$y = x + 12$ , $y = x^{2}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x + 12 = x^{2}$

Etapa 1.2

Resolva $x + 12 = x^{2}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Subtraia $x^{2}$ dos dois lados da equação.

$x + 12 - x^{2} = 0$

Etapa 1.2.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1

Fatore $- 1$ de $x + 12 - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1

Reordene a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.1.1.1

Mova $12$ .

$x - x^{2} + 12 = 0$

Etapa 1.2.2.1.1.2

Reordene $x$ e $- x^{2}$ .

$- x^{2} + x + 12 = 0$

Etapa 1.2.2.1.2

Fatore $- 1$ de $- x^{2}$ .

$- (x^{2}) + x + 12 = 0$

Etapa 1.2.2.1.3

Fatore $- 1$ de $x$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) + 12 = 0$

Etapa 1.2.2.1.4

Reescreva $12$ como $- 1 (- 12)$ .

$- (x^{2}) - 1 (- x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Etapa 1.2.2.1.5

Fatore $- 1$ de $- (x^{2}) - 1 (- x)$ .

$- (x^{2} - x) - 1 \cdot - 12 = 0$

Etapa 1.2.2.1.6

Fatore $- 1$ de $- (x^{2} - x) - 1 (- 12)$ .

$- (x^{2} - x - 12) = 0$

Etapa 1.2.2.2

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1

Fatore $x^{2} - x - 12$ usando o método AC.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.2.2.1.1

Considere a forma $x^{2} + b x + c$ . Encontre um par de números inteiros cujo produto é $c$ e cuja soma é $b$ . Neste caso, cujo produto é $- 12$ e cuja soma é $- 1$ .

$- 4, 3 + y = x^{2}$

Etapa 1.2.2.2.1.2

Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.

$- ((x - 4) (x + 3)) = 0$

Etapa 1.2.2.2.2

Remova os parênteses desnecessários.

$- (x - 4) (x + 3) = 0$

Etapa 1.2.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

$x + 3 = 0 + y = x^{2}$

Etapa 1.2.4

Defina $x - 4$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Defina $x - 4$ como igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Etapa 1.2.4.2

Some $4$ aos dois lados da equação.

$x = 4$

Etapa 1.2.5

Defina $x + 3$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.5.1

Defina $x + 3$ como igual a $0$ .

$x + 3 = 0$

Etapa 1.2.5.2

Subtraia $3$ dos dois lados da equação.

$x = - 3$

Etapa 1.2.6

A solução final são todos os valores que tornam $- (x - 4) (x + 3) = 0$ verdadeiro.

$x = 4, - 3$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $4$ por $x$ .

$y = {(4)}^{2}$

Etapa 1.3.2

Substitua $4$ por $x$ em $y = {(4)}^{2}$ e resolva $y$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = 4^{2}$

Etapa 1.3.2.2

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$y = 16$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = - 3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $- 3$ por $x$ .

$y = {(- 3)}^{2}$

Etapa 1.4.2

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$y = 9$

Etapa 1.5

A solução para o sistema é o conjunto completo de pares ordenados que são soluções válidas.

$(4, 16)$

$(- 3, 9)$

$(4, 16)$

$(- 3, 9)$

Etapa 2

A área da região entre as curvas é definida como a integral da curva superior menos a integral da curva inferior sobre cada região. As regiões são determinadas pelos pontos de intersecção das curvas. É possível fazer isso de forma algébrica ou gráfica.

$A r e a = \int_{- 3}^{4} x + 12 d x - \int_{- 3}^{4} x^{2} d x$

Etapa 3

Integre para encontrar a área entre $- 3$ e $4$ .

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Etapa 3.1

Combine as integrais em uma única integral.

$\int_{- 3}^{4} x + 12 - (x^{2}) d x$

Etapa 3.2

Multiplique $- 1$ por $x^{2}$ .

$\int_{- 3}^{4} x + 12 - x^{2} d x$

Etapa 3.3

Divida a integral única em várias integrais.

$\int_{- 3}^{4} x d x + \int_{- 3}^{4} 12 d x + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 3.4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} 12 d x + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 3.5

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} + \int_{- 3}^{4} - x^{2} d x$

Etapa 3.6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} - \int_{- 3}^{4} x^{2} d x$

Etapa 3.7

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{4})$

Etapa 3.8

Simplifique a resposta.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.1.1

Combine $\frac{1}{2} x^{2}]_{- 3}^{4}$ e $12 x]_{- 3}^{4}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{1}{3} x^{3}]_{- 3}^{4})$

Etapa 3.8.1.2

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$\frac{1}{2} x^{2} + 12 x]_{- 3}^{4} - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Etapa 3.8.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 3.8.2.1

Avalie $\frac{1}{2} x^{2} + 12 x$ em $4$ e em $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - (\frac{x^{3}}{3}]_{- 3}^{4})$

Etapa 3.8.2.2

Avalie $\frac{x^{3}}{3}$ em $4$ e em $- 3$ .

$(\frac{1}{2} \cdot 4^{2} + 12 \cdot 4) - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.1

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$\frac{1}{2} \cdot 16 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $16$ .

$\frac{16}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.3

Cancele o fator comum de $16$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.3.1

Fatore $2$ de $16$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 \cdot 8}{2 (1)} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \cdot 8}{2 \cdot 1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{8}{1} + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.3.2.4

Divida $8$ por $1$ .

$8 + 12 \cdot 4 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.4

Multiplique $12$ por $4$ .

$8 + 48 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.5

Some $8$ e $48$ .

$56 - (\frac{1}{2} {(- 3)}^{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.6

Eleve $- 3$ à potência de $2$ .

$56 - (\frac{1}{2} \cdot 9 + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.7

Combine $\frac{1}{2}$ e $9$ .

$56 - (\frac{9}{2} + 12 \cdot - 3) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.8

Multiplique $12$ por $- 3$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.9

Para escrever $- 36$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} - 36 \cdot \frac{2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.10

Combine $- 36$ e $\frac{2}{2}$ .

$56 - (\frac{9}{2} + \frac{- 36 \cdot 2}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$56 - \frac{9 - 36 \cdot 2}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.12

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.12.1

Multiplique $- 36$ por $2$ .

$56 - \frac{9 - 72}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.12.2

Subtraia $72$ de $9$ .

$56 - \frac{- 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.13

Mova o número negativo para a frente da fração.

$56 - - \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.14

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$56 + 1 (\frac{63}{2}) - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.15

Multiplique $\frac{63}{2}$ por $1$ .

$56 + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.16

Para escrever $56$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$56 \cdot \frac{2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.17

Combine $56$ e $\frac{2}{2}$ .

$\frac{56 \cdot 2}{2} + \frac{63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.18

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{56 \cdot 2 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.19

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.19.1

Multiplique $56$ por $2$ .

$\frac{112 + 63}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.19.2

Some $112$ e $63$ .

$\frac{175}{2} - ((\frac{4^{3}}{3}) - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.20

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{{(- 3)}^{3}}{3})$

Etapa 3.8.2.3.21

Eleve $- 3$ à potência de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 27}{3})$

Etapa 3.8.2.3.22

Cancele o fator comum de $- 27$ e $3$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.22.1

Fatore $3$ de $- 27$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3})$

Etapa 3.8.2.3.22.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.22.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 (1)})$

Etapa 3.8.2.3.22.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{3 \cdot - 9}{3 \cdot 1})$

Etapa 3.8.2.3.22.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - \frac{- 9}{1})$

Etapa 3.8.2.3.22.2.4

Divida $- 9$ por $1$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} - - 9)$

Etapa 3.8.2.3.23

Multiplique $- 1$ por $- 9$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9)$

Etapa 3.8.2.3.24

Para escrever $9$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + 9 \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 3.8.2.3.25

Combine $9$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} - (\frac{64}{3} + \frac{9 \cdot 3}{3})$

Etapa 3.8.2.3.26

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 9 \cdot 3}{3}$

Etapa 3.8.2.3.27

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.27.1

Multiplique $9$ por $3$ .

$\frac{175}{2} - \frac{64 + 27}{3}$

Etapa 3.8.2.3.27.2

Some $64$ e $27$ .

$\frac{175}{2} - \frac{91}{3}$

Etapa 3.8.2.3.28

Para escrever $\frac{175}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3}$

Etapa 3.8.2.3.29

Para escrever $- \frac{91}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175}{2} \cdot \frac{3}{3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.8.2.3.30

Escreva cada expressão com um denominador comum de $6$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.30.1

Multiplique $\frac{175}{2}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.8.2.3.30.2

Multiplique $2$ por $3$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91}{3} \cdot \frac{2}{2}$

Etapa 3.8.2.3.30.3

Multiplique $\frac{91}{3}$ por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{3 \cdot 2}$

Etapa 3.8.2.3.30.4

Multiplique $3$ por $2$ .

$\frac{175 \cdot 3}{6} - \frac{91 \cdot 2}{6}$

Etapa 3.8.2.3.31

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{175 \cdot 3 - 91 \cdot 2}{6}$

Etapa 3.8.2.3.32

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.8.2.3.32.1

Multiplique $175$ por $3$ .

$\frac{525 - 91 \cdot 2}{6}$

Etapa 3.8.2.3.32.2

Multiplique $- 91$ por $2$ .

$\frac{525 - 182}{6}$

Etapa 3.8.2.3.32.3

Subtraia $182$ de $525$ .

$\frac{343}{6}$

Etapa 4