Cálculo Exemplos

$y = x$ , $y = \sqrt[4]{x}$

Etapa 1

Resolva por substituição para encontrar a intersecção entre as curvas.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Elimine os lados iguais de cada equação e combine.

$x = \sqrt[4]{x}$

Etapa 1.2

Resolva $x = \sqrt[4]{x}$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Como o radical está do lado direito da equação, troque os lados para que ele fique do lado esquerdo da equação.

$\sqrt[4]{x} = x$

Etapa 1.2.2

Para remover o radical no lado esquerdo da equação, eleve os dois lados da equação à $4$ ª potência.

${\sqrt[4]{x}}^{4} = x^{4}$

Etapa 1.2.3

Simplifique cada lado da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt[4]{x}$ como $x^{\frac{1}{4}}$ .

${(x^{\frac{1}{4}})}^{4} = x^{4}$

Etapa 1.2.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1

Simplifique ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1

Multiplique os expoentes em ${(x^{\frac{1}{4}})}^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.1

Cancele o fator comum.

$x^{\frac{1}{4} \cdot 4} = x^{4}$

Etapa 1.2.3.2.1.1.2.2

Reescreva a expressão.

$x^{1} = x^{4}$

Etapa 1.2.3.2.1.2

Simplifique.

$x = x^{4}$

Etapa 1.2.4

Resolva $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.1

Subtraia $x^{4}$ dos dois lados da equação.

$x - x^{4} = 0$

Etapa 1.2.4.2

Fatore o lado esquerdo da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1

Fatore $x$ de $x - x^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.1.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x - x^{4} = 0$

Etapa 1.2.4.2.1.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$x \cdot 1 - x^{4} = 0$

Etapa 1.2.4.2.1.3

Fatore $x$ de $- x^{4}$ .

$x \cdot 1 + x (- x^{3}) = 0$

Etapa 1.2.4.2.1.4

Fatore $x$ de $x \cdot 1 + x (- x^{3})$ .

$x (1 - x^{3}) = 0$

Etapa 1.2.4.2.2

Reescreva $1$ como $1^{3}$ .

$x (1^{3} - x^{3}) = 0$

Etapa 1.2.4.2.3

Como os dois termos são cubos perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ em que $a = 1$ e $b = x$ .

$x ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 0$

Etapa 1.2.4.2.4

Fatore.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.4.1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 0$

Etapa 1.2.4.2.4.1.2

Multiplique $x$ por $1$ .

$x ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 0$

Etapa 1.2.4.2.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$

Etapa 1.2.4.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x = 0$

$1 - x = 0$

$1 + x + x^{2} = 0 + y = \sqrt[4]{x}$

Etapa 1.2.4.4

Defina $x$ como igual a $0$ .

$x = 0$

Etapa 1.2.4.5

Defina $1 - x$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.1

Defina $1 - x$ como igual a $0$ .

$1 - x = 0$

Etapa 1.2.4.5.2

Resolva $1 - x = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- x = - 1$

Etapa 1.2.4.5.2.2

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.2.1

Divida cada termo em $- x = - 1$ por $- 1$ .

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.4.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{x}{1} = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.4.5.2.2.2.2

Divida $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 1}{- 1}$

Etapa 1.2.4.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.5.2.2.3.1

Divida $- 1$ por $- 1$ .

$x = 1$

Etapa 1.2.4.6

Defina $1 + x + x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.1

Defina $1 + x + x^{2}$ como igual a $0$ .

$1 + x + x^{2} = 0$

Etapa 1.2.4.6.2

Resolva $1 + x + x^{2} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.2.1

Use a fórmula quadrática para encontrar as soluções.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = \sqrt[4]{x}$

Etapa 1.2.4.6.2.2

Substitua os valores $a = 1$ , $b = 1$ e $c = 1$ na fórmula quadrática e resolva $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1} + y = \sqrt[4]{x}$

Etapa 1.2.4.6.2.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.2.3.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.2.3.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.3.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.2.3.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.3.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.3.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.3.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.3.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.3.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.3.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.4

Simplifique a expressão para resolver a parte $+$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.2.4.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.2.4.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.2.4.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.3

Altere $\pm$ para $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.5

Fatore $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.4.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.5

Simplifique a expressão para resolver a parte $-$ de $\pm$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.2.5.1

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.2.5.1.1

Um elevado a qualquer potência é um.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.1.2

Multiplique $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.4.6.2.5.1.2.1

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.1.2.2

Multiplique $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.1.3

Subtraia $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.1.4

Reescreva $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.1.5

Reescreva $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.1.6

Reescreva $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.3

Altere $\pm$ para $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.4

Reescreva $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.5

Fatore $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.6

Fatore $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.5.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.4.6.2.6

A resposta final é a combinação das duas soluções.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.2.4.7

A solução final são todos os valores que tornam $x (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 1.3

Avalie $y$ quando $x = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Substitua $0$ por $x$ .

$y = \sqrt[4]{0}$

Etapa 1.3.2

Simplifique $\sqrt[4]{0}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sqrt[4]{0}$

Etapa 1.3.2.2

Reescreva $0$ como $0^{4}$ .

$y = \sqrt[4]{0^{4}}$

Etapa 1.3.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$y = 0$

Etapa 1.4

Avalie $y$ quando $x = 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Substitua $1$ por $x$ .

$y = \sqrt[4]{1}$

Etapa 1.4.2

Simplifique $\sqrt[4]{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.2.1

Remova os parênteses.

$y = \sqrt[4]{1}$

Etapa 1.4.2.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$y = 1$

Etapa 1.5

Avalie $y$ quando $x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.5.1

Substitua $- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$ por $x$ .

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 1.5.2

Remova os parênteses.

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 1.6

Avalie $y$ quando $x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.6.1

Substitua $- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$ por $x$ .

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 1.6.2

Remova os parênteses.

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}$

Etapa 1.7

Liste todas as soluções.

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

$y = 0, x = 0$

$y = 1, x = 1$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

$y = \sqrt[4]{- \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}}, x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Etapa 2

A área entre as curvas em questão é ilimitada.

Área não limitada

Etapa 3