Cálculo Exemplos

$lim_{x \to \infty} \sqrt{81 x^{2} + x} - 9 x$

Etapa 1

Multiplique para racionalizar o numerador.

$lim_{x \to \infty} \frac{(\sqrt{81 x^{2} + x} - 9 x) (\sqrt{81 x^{2} + x} + 9 x)}{\sqrt{81 x^{2} + x} + 9 x}$

Etapa 2

Simplifique.

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Etapa 2.1

Expanda o numerador usando o método FOIL.

$lim_{x \to \infty} \frac{{\sqrt{81 x^{2} + x}}^{2} + \sqrt{81 x^{2} + x} (9 x) + \sqrt{81 x^{2} + x} (- 9 x) - 81 x^{2}}{\sqrt{81 x^{2} + x} + 9 x}$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Subtraia $81 x^{2}$ de $81 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x + 0}{\sqrt{81 x^{2} + x} + 9 x}$

Etapa 2.2.2

Some $x$ e $0$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{81 x^{2} + x} + 9 x}$

Etapa 3

Fatore $x$ de $81 x^{2} + x$ .

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Etapa 3.1

Fatore $x$ de $81 x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (81 x) + x} + 9 x}$

Etapa 3.2

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (81 x) + x^{1}} + 9 x}$

Etapa 3.3

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (81 x) + x \cdot 1} + 9 x}$

Etapa 3.4

Fatore $x$ de $x (81 x) + x \cdot 1$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{x (81 x + 1)} + 9 x}$

Etapa 4

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x = \sqrt{x^{2}}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{9 x}{x}}$

Etapa 5

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 5.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 5.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x}{x}}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{9 x}{x}}$

Etapa 5.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x^{2}}} + \frac{9 x}{x}}$

Etapa 5.2

Cancele o fator comum de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x^{2}}} + 9}$

Etapa 6

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 6.1

Fatore $x$ de $x^{2}$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x \cdot x}} + 9}$

Etapa 6.2

Cancele o fator comum.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{x (81 x + 1)}{x \cdot x}} + 9}$

Etapa 6.3

Reescreva a expressão.

$lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac{81 x + 1}{x}} + 9}$

Etapa 7

Avalie o limite.

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Etapa 7.1

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} 1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{81 x + 1}{x}} + 9}$

Etapa 7.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{81 x + 1}{x}} + 9}$

Etapa 7.3

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{81 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 7.4

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{81 x + 1}{x}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 8

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $x$ no denominador, que é $x$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{81 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 9

Avalie o limite.

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Etapa 9.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 9.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{81 x}{x} + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 9.1.2

Divida $81$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{81 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 9.2

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 9.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{81 + \frac{1}{x}}{\frac{x}{x}}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 9.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{81 + \frac{1}{x}}{1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 9.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 81 + \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 9.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} 81 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 9.5

Avalie o limite de $81$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{81 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 10

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{x}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{81 + 0}{lim_{x \to \infty} 1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 11

Avalie o limite.

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Etapa 11.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{81 + 0}{1}} + lim_{x \to \infty} 9}$

Etapa 11.2

Avalie o limite de $9$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{1}{\sqrt{\frac{81 + 0}{1}} + 9}$

Etapa 11.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.3.1

Divida $81 + 0$ por $1$ .

$\frac{1}{\sqrt{81 + 0} + 9}$

Etapa 11.3.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 11.3.2.1

Some $81$ e $0$ .

$\frac{1}{\sqrt{81} + 9}$

Etapa 11.3.2.2

Reescreva $81$ como $9^{2}$ .

$\frac{1}{\sqrt{9^{2}} + 9}$

Etapa 11.3.2.3

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{1}{9 + 9}$

Etapa 11.3.2.4

Some $9$ e $9$ .

$\frac{1}{18}$

Etapa 12

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{1}{18}$

Forma decimal:

$0.0\overline{5}$