Cálculo Exemplos

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{t} + t^{2}}{2 t - t^{2}}$

Etapa 1

Divida o numerador e o denominador pela potência mais alta de $t$ no denominador, que é $\sqrt{t^{4}} = t^{2}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + \frac{t^{2}}{t^{2}}}{\frac{2 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Etapa 2

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1

Cancele o fator comum de $t^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.1.1

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + \frac{t^{2}}{t^{2}}}{\frac{2 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Etapa 2.1.2

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + 1}{\frac{2 t}{t^{2}} - \frac{t^{2}}{t^{2}}}$

Etapa 2.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Simplifique cada termo.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t}{t^{4}}} + 1}{\frac{2}{t} - 1}$

Etapa 2.2.2

Cancele o fator comum de $t$ e $t^{4}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.1

Eleve $t$ à potência de $1$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t^{1}}{t^{4}}} + 1}{\frac{2}{t} - 1}$

Etapa 2.2.2.2

Fatore $t$ de $t^{1}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t^{4}}} + 1}{\frac{2}{t} - 1}$

Etapa 2.2.2.3

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.2.3.1

Fatore $t$ de $t^{4}$ .

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} + 1}{\frac{2}{t} - 1}$

Etapa 2.2.2.3.2

Cancele o fator comum.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{t \cdot 1}{t \cdot t^{3}}} + 1}{\frac{2}{t} - 1}$

Etapa 2.2.2.3.3

Reescreva a expressão.

$lim_{t \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + 1}{\frac{2}{t} - 1}$

Etapa 2.3

Divida o limite usando a regra do quociente dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{2}{t} - 1}$

Etapa 2.4

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{lim_{t \to \infty} \sqrt{\frac{1}{t^{3}}} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{2}{t} - 1}$

Etapa 2.5

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{\sqrt{lim_{t \to \infty} \frac{1}{t^{3}}} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{2}{t} - 1}$

Etapa 3

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{t^{3}}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + lim_{t \to \infty} 1}{lim_{t \to \infty} \frac{2}{t} - 1}$

Etapa 4

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{2}{t} - 1}$

Etapa 4.2

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{lim_{t \to \infty} \frac{2}{t} - lim_{t \to \infty} 1}$

Etapa 4.3

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $t$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{2 lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} - lim_{t \to \infty} 1}$

Etapa 5

Como o numerador se aproxima de um número real, enquanto o denominador é ilimitado, a fração $\frac{1}{t}$ se aproxima de $0$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{2 \cdot 0 - lim_{t \to \infty} 1}$

Etapa 6

Avalie o limite.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $t$ se aproxima de $\infty$ .

$\frac{\sqrt{0} + 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 6.2

Simplifique a resposta.

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Etapa 6.2.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 6.2.1.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$\frac{\sqrt{0^{2}} + 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 6.2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\frac{0 + 1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 6.2.1.3

Some $0$ e $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2

Simplifique o denominador.

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Etapa 6.2.2.1

Multiplique $2$ por $0$ .

$\frac{1}{0 - 1 \cdot 1}$

Etapa 6.2.2.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{0 - 1}$

Etapa 6.2.2.3

Subtraia $1$ de $0$ .

$\frac{1}{- 1}$

Etapa 6.2.3

Divida $1$ por $- 1$ .

$- 1$