Cálculo Exemplos

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$

Etapa 1

Aplique a regra de l'Hôpital.

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Etapa 1.1

Avalie o limite do numerador e o limite do denominador.

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Etapa 1.1.1

Obtenha o limite do numerador e o limite do denominador.

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Etapa 1.1.2

Avalie o limite do numerador.

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Etapa 1.1.2.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.2.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - lim_{x \to 1} 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.1.2

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{lim_{x \to 1} x - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.2.3.1

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{1 - 1}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Etapa 1.1.2.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - 1}$

Etapa 1.1.3

Avalie o limite do denominador.

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Etapa 1.1.3.1

Avalie o limite.

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Etapa 1.1.3.1.1

Divida o limite usando a regra da soma dos limites no limite em que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{lim_{x \to 1} \sqrt{x} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - lim_{x \to 1} 1}$

Etapa 1.1.3.1.3

Avalie o limite de $1$ , que é constante à medida que $x$ se aproxima de $1$ .

$\frac{0}{\sqrt{lim_{x \to 1} x} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.2

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$\frac{0}{\sqrt{1} - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3

Simplifique a resposta.

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Etapa 1.1.3.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.1.3.3.1.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$\frac{0}{1 - 1 \cdot 1}$

Etapa 1.1.3.3.1.2

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$\frac{0}{1 - 1}$

Etapa 1.1.3.3.2

Subtraia $1$ de $1$ .

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.3.3

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.3.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.1.4

A expressão contém uma divisão por $0$ . A expressão é indefinida.

Indefinido

$\frac{0}{0}$

Etapa 1.2

Como $\frac{0}{0}$ tem forma indeterminada, aplique a regra de l'Hôpital. De acordo com a regra de l'Hôpital, o limite de um quociente de funções é igual ao limite do quociente de suas derivadas.

$lim_{x \to 1} \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1} = lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Etapa 1.3

Encontre a derivada do numerador e do denominador.

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Etapa 1.3.1

Diferencie o numerador e o denominador.

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x - 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Etapa 1.3.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Etapa 1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + \frac{d}{d x} [- 1]}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Etapa 1.3.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1 + 0}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Etapa 1.3.5

Some $1$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x} - 1]}$

Etapa 1.3.6

De acordo com a regra da soma, a derivada de $\sqrt{x} - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [\sqrt{x}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7

Avalie $\frac{d}{d x} [\sqrt{x}]$ .

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Etapa 1.3.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = \frac{1}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7.3

Para escrever $- 1$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7.4

Combine $- 1$ e $\frac{2}{2}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7.5

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7.6

Simplifique o numerador.

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Etapa 1.3.7.6.1

Multiplique $- 1$ por $2$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7.6.2

Subtraia $2$ de $1$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.7.7

Mova o número negativo para a frente da fração.

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + \frac{d}{d x} [- 1]}$

Etapa 1.3.8

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}} + 0}$

Etapa 1.3.9

Simplifique.

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Etapa 1.3.9.1

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.9.2

Combine os termos.

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Etapa 1.3.9.2.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}} + 0}$

Etapa 1.3.9.2.2

Some $\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ e $0$ .

$lim_{x \to 1} \frac{1}{\frac{1}{2 x^{\frac{1}{2}}}}$

Etapa 1.4

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$lim_{x \to 1} 1 (2 x^{\frac{1}{2}})$

Etapa 1.5

Reescreva $x^{\frac{1}{2}}$ como $\sqrt{x}$ .

$lim_{x \to 1} 1 (2 \sqrt{x})$

Etapa 1.6

Multiplique $2$ por $1$ .

$lim_{x \to 1} 2 \sqrt{x}$

Etapa 2

Avalie o limite.

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Etapa 2.1

Mova o termo $2$ para fora do limite, porque ele é constante em relação a $x$ .

$2 lim_{x \to 1} \sqrt{x}$

Etapa 2.2

Mova o limite para baixo do sinal do radical.

$2 \sqrt{lim_{x \to 1} x}$

Etapa 3

Avalie o limite de $x$ substituindo $1$ por $x$ .

$2 \sqrt{1}$

Etapa 4

Simplifique a resposta.

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Etapa 4.1

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 4.2

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$