Cálculo Exemplos

$f (x) = x e^{- x^{2}}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$x \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}] + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$x (e^{u} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [- x^{2}]) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} [x^{2}])) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$x^{1} x^{1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.7.1

Some $1$ e $1$ .

$x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.7.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Etapa 1.9

Multiplique $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Etapa 1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.10.1

Reordene os termos.

$- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Etapa 1.10.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}] + \frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (- 2 x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 2 x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 2.2.1

Como $- 2$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ em relação a $x$ é $- 2 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{- x^{2}}]$ .

$f'' (x) = - 2 \frac{d}{d x} (x^{2} e^{- x^{2}}) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x^{2}$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.3

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Etapa 2.2.3.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (\frac{d}{d u (1)} (e^{u_{1}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.3.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ é $a^{u_{1}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.3.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.5

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x^{2})) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.6

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.7

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{2} (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.8

Multiplique $x^{2}$ por $x$ somando os expoentes.

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Etapa 2.2.8.1

Mova $x$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.8.2

Multiplique $x$ por $x^{2}$ .

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Etapa 2.2.8.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f'' (x) = - 2 (x \cdot x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f'' (x) = - 2 (x^{1 + 2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.8.3

Some $1$ e $2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.2.9

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [e^{- x^{2}}]$ .

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Etapa 2.3.1

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

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Etapa 2.3.1.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{2}$ como $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + \frac{d}{d u (2)} (e^{u_{2}}) \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Etapa 2.3.1.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ é $a^{u_{2}} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Etapa 2.3.1.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $- x^{2}$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})$

Etapa 2.3.2

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})$

Etapa 2.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- (2 x))$

Etapa 2.3.4

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.4

Simplifique.

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Etapa 2.4.1

Aplique a propriedade distributiva.

$f'' (x) = - 2 (x^{3} (- 2 e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.4.2

Combine os termos.

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Etapa 2.4.2.1

Multiplique $- 2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 (x^{3} (e^{- x^{2}})) - 2 (e^{- x^{2}} (2 x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.4.2.2

Multiplique $2$ por $- 2$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 (e^{- x^{2}} (x)) + e^{- x^{2}} (- 2 x)$

Etapa 2.4.2.3

Mova $e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 4 x e^{- x^{2}} - 2 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2.4.2.4

Subtraia $2 x e^{- x^{2}}$ de $- 4 x e^{- x^{2}}$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

Etapa 2.4.3

Reordene os termos.

$f'' (x) = 4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$

Etapa 2.4.4

Reordene os fatores em $4 e^{- x^{2}} x^{3} - 6 e^{- x^{2}} x$ .

$f'' (x) = 4 x^{3} e^{- x^{2}} - 6 x e^{- x^{2}}$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.1

Diferencie usando a regra do produto, que determina que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ é $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ , em que $f (x) = x$ e $g (x) = e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = x \frac{d}{d x} (e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = e^{x}$ e $g (x) = - x^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u$ como $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (\frac{d}{d u} (e^{u}) \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra exponencial, que determina que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ é $a^{u} \ln (a)$ , em que $a$ = $e$ .

$f' (x) = x (e^{u} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $- x^{2}$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (- x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.3.1

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- x^{2}$ em relação a $x$ é $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- \frac{d}{d x} x^{2})) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- (2 x))) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.3.3

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$f' (x) = x (e^{- x^{2}} (- 2 x)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.4

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.5

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$f' (x) = x \cdot x (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.6

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (x) = x^{1 + 1} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.7

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.7.1

Some $1$ e $1$ .

$f' (x) = x^{2} (e^{- x^{2}} \cdot (- 2)) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.7.2

Mova $- 2$ para a esquerda de $e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 \cdot e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \frac{d}{d x} (x)$

Etapa 4.1.8

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$

Etapa 4.1.9

Multiplique $e^{- x^{2}}$ por $1$ .

$f' (x) = x^{2} (- 2 e^{- x^{2}}) + e^{- x^{2}}$

Etapa 4.1.10

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1.10.1

Reordene os termos.

$f' (x) = - 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$

Etapa 4.1.10.2

Reordene os fatores em $- 2 e^{- x^{2}} x^{2} + e^{- x^{2}}$ .

$f' (x) = - 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $e^{- x^{2}}$ de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}} + e^{- x^{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.2.1

Fatore $e^{- x^{2}}$ de $- 2 x^{2} e^{- x^{2}}$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 5.2.2

Multiplique por $1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 1 = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $e^{- x^{2}}$ de $e^{- x^{2}} (- 2 x^{2}) + e^{- x^{2}} \cdot 1$ .

$e^{- x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 5.4

Defina $e^{- x^{2}}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.1

Defina $e^{- x^{2}}$ como igual a $0$ .

$e^{- x^{2}} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $e^{- x^{2}} = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.4.2.1

Obtenha o logaritmo natural dos dois lados da equação para remover a variável do expoente.

$\ln (e^{- x^{2}}) = \ln (0)$

Etapa 5.4.2.2

Não é possível resolver a equação, porque $\ln (0)$ é indefinida.

Indefinido

Etapa 5.4.2.3

Não há uma solução para $e^{- x^{2}} = 0$

Nenhuma solução

Etapa 5.5

Defina $- 2 x^{2} + 1$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.1

Defina $- 2 x^{2} + 1$ como igual a $0$ .

$- 2 x^{2} + 1 = 0$

Etapa 5.5.2

Resolva $- 2 x^{2} + 1 = 0$ para $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.1

Subtraia $1$ dos dois lados da equação.

$- 2 x^{2} = - 1$

Etapa 5.5.2.2

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 1$ por $- 2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.1

Divida cada termo em $- 2 x^{2} = - 1$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1

Cancele o fator comum de $- 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{- 2 x^{2}}{- 2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.2.1.2

Divida $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{- 1}{- 2}$

Etapa 5.5.2.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.2.3.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$x^{2} = \frac{1}{2}$

Etapa 5.5.2.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{2}}$

Etapa 5.5.2.4

Simplifique $\pm \sqrt{\frac{1}{2}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.1

Reescreva $\sqrt{\frac{1}{2}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.2

Qualquer raiz de $1$ é $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.3

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4

Combine e simplifique o denominador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.4.1

Multiplique $\frac{1}{\sqrt{2}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.2

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} \sqrt{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.3

Eleve $\sqrt{2}$ à potência de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1} {\sqrt{2}}^{1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{1 + 1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.5

Some $1$ e $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{\sqrt{2}}^{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.4.6.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.4.4.6.4.1

Cancele o fator comum.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{\frac{2}{2}}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.4.2

Reescreva a expressão.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2^{1}}$

Etapa 5.5.2.4.4.6.5

Avalie o expoente.

$x = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.5.2.5

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.5.2.5.1

Primeiro, use o valor positivo de $\pm$ para encontrar a primeira solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.5.2.5.2

Depois, use o valor negativo de $\pm$ para encontrar a segunda solução.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.5.2.5.3

A solução completa é resultado das partes positiva e negativa da solução.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $e^{- x^{2}} (- 2 x^{2} + 1) = 0$ verdadeiro.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2}$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 \frac{\sqrt{8}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.2.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$4 \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.2.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.3

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{8} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.4

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.4.1

Fatore $4$ de $8$ .

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{4 (2)} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.4.2

Cancele o fator comum.

$4 \frac{2 \sqrt{2}}{4 \cdot 2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.4.3

Reescreva a expressão.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.5

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 \sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.5.2

Divida $\sqrt{2}$ por $1$ .

$\sqrt{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.6

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.7

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.7.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.7.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.7.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.7.4.1

Cancele o fator comum.

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.7.4.2

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.7.5

Avalie o expoente.

$\sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.8

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.9

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.9.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.9.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.9.2.2

Cancele o fator comum.

$\sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.9.2.3

Reescreva a expressão.

$\sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.10

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.11

Combine $\sqrt{2}$ e $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.12

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.12.1

Fatore $2$ de $- 6$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 (- 3) \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.12.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot - 3 \frac{\sqrt{2}}{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.12.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 9.1.13

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.14

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.14.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.14.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.14.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.14.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.14.4.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.14.4.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.14.5

Avalie o expoente.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 9.1.15

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}}$

Etapa 9.1.16

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.16.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 9.1.16.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.16.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 9.1.16.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 9.1.16.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 9.1.17

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.1.18

Multiplique $- 3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.1.18.1

Combine $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $- 3$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{2}$

Etapa 9.1.18.2

Combine $\frac{- 3}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $\sqrt{2}$ .

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.1.19

Mova o número negativo para a frente da fração.

$\frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - \frac{3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 9.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{\sqrt{2} - 3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.2

Subtraia $3 \sqrt{2}$ de $\sqrt{2}$ .

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 9.2.3

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{2 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 10

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ é um máximo local

Etapa 11

Encontre o valor y quando $x = \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.1

Substitua a variável $x$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = (\frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 11.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.1

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.2.4.1

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.4.2

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.2.5

Avalie o expoente.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 11.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{4}}$

Etapa 11.2.4

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 11.2.4.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 11.2.4.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 11.2.4.2.2

Cancele o fator comum.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 11.2.4.2.3

Reescreva a expressão.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 11.2.5

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2.6

Combine.

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2} \cdot 1}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2.7

Multiplique $\sqrt{2}$ por $1$ .

$f (\frac{\sqrt{2}}{2}) = \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 11.2.8

A resposta final é $\frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 12

Avalie a segunda derivada em $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$4 {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{3} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13

Avalie a segunda derivada.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{3}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$4 ({(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.2

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{{\sqrt{2}}^{3}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.3

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.1

Reescreva ${\sqrt{2}}^{3}$ como $\sqrt{2^{3}}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{2^{3}}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.2

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{\sqrt{8}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.3

Reescreva $8$ como $2^{2} \cdot 2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.3.3.1

Fatore $4$ de $8$ .

$4 (- \frac{\sqrt{4 (2)}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.3.2

Reescreva $4$ como $2^{2}$ .

$4 (- \frac{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.3.4

Elimine os termos abaixo do radical.

$4 (- \frac{2 \sqrt{2}}{2^{3}}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.4

Eleve $2$ à potência de $3$ .

$4 (- \frac{2 \sqrt{2}}{8}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.5

Cancele o fator comum de $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.5.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{2 \sqrt{2}}{8}$ para o numerador.

$4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{8} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.5.2

Fatore $4$ de $8$ .

$4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 (2)} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.5.3

Cancele o fator comum.

$4 \frac{- 2 \sqrt{2}}{4 \cdot 2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.5.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- 2 \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.6

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.1

Fatore $2$ de $- 2 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.6.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 (1)} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.6.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (- \sqrt{2})}{2 \cdot 1} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.6.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{- \sqrt{2}}{1} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.6.2.4

Divida $- \sqrt{2}$ por $1$ .

$- \sqrt{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.7.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.7.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.8

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.8.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.8.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.8.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.8.3

Some $2$ e $1$ .

$- \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.9

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.10

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.10.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.10.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.10.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.10.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.10.4.1

Cancele o fator comum.

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.10.4.2

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.10.5

Avalie o expoente.

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.11

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.12

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.12.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.12.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.12.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.12.2.2

Cancele o fator comum.

$- \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.12.2.3

Reescreva a expressão.

$- \sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.13

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.14

Combine $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 (- \frac{\sqrt{2}}{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.15

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.15.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ para o numerador.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 6 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.15.2

Fatore $2$ de $- 6$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 (- 3) \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.15.3

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot - 3 \frac{- \sqrt{2}}{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.15.4

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} - 3 (- \sqrt{2}) e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.16

Multiplique $- 1$ por $- 3$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 13.1.17

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.17.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Etapa 13.1.17.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- ({(- 1)}^{2} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 13.1.18

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.18.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot - 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.18.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.18.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2} \cdot {(- 1)}^{1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.18.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{2 + 1} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.18.3

Some $2$ e $1$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{{(- 1)}^{3} \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.19

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.20

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.20.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.20.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.20.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.20.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.20.4.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.20.4.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.20.5

Avalie o expoente.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 13.1.21

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2}{4}}$

Etapa 13.1.22

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.22.1

Fatore $2$ de $2$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 13.1.22.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.22.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 13.1.22.2.2

Cancele o fator comum.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 13.1.22.2.3

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 13.1.23

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + 3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.1.24

Multiplique $3 \sqrt{2} \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1.24.1

Combine $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $3$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{e^{\frac{1}{2}}} \sqrt{2}$

Etapa 13.1.24.2

Combine $\frac{3}{e^{\frac{1}{2}}}$ e $\sqrt{2}$ .

$- \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2

Simplifique os termos.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{- \sqrt{2} + 3 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 13.2.2

Some $- \sqrt{2}$ e $3 \sqrt{2}$ .

$\frac{2 \sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 14

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.

$x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ é um mínimo local

Etapa 15

Encontre o valor y quando $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.1

Substitua a variável $x$ por $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ na expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = (- \frac{\sqrt{2}}{2}) \cdot e^{- {(- \frac{\sqrt{2}}{2})}^{2}}$

Etapa 15.2

Simplifique o resultado.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1

Use a regra da multiplicação de potências ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir o expoente.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.1.1

Aplique a regra do produto a $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} {(\frac{\sqrt{2}}{2})}^{2})}$

Etapa 15.2.1.2

Aplique a regra do produto a $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- ({(- 1)}^{2} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Etapa 15.2.2

Multiplique $- 1$ por ${(- 1)}^{2}$ somando os expoentes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.1

Mova ${(- 1)}^{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot (- 1 \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 15.2.2.2

Multiplique ${(- 1)}^{2}$ por $- 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.2.2.1

Eleve $- 1$ à potência de $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2} \cdot ({(- 1)}^{1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}))}$

Etapa 15.2.2.2.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{2 + 1} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 15.2.2.3

Some $2$ e $1$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{{(- 1)}^{3} (\frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}})}$

Etapa 15.2.3

Eleve $- 1$ à potência de $3$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{\sqrt{2}}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4

Reescreva ${\sqrt{2}}^{2}$ como $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.1

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{2}$ como $2^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{{(2^{\frac{1}{2}})}^{2}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4.3

Combine $\frac{1}{2}$ e $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4.4

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.4.4.1

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{\frac{2}{2}}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4.4.2

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2^{1}}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.4.5

Avalie o expoente.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{2^{2}}}$

Etapa 15.2.5

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2}{4}}$

Etapa 15.2.6

Cancele o fator comum de $2$ e $4$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.1

Fatore $2$ de $2$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 (1)}{4}}$

Etapa 15.2.6.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 15.2.6.2.1

Fatore $2$ de $4$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 15.2.6.2.2

Cancele o fator comum.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 2}}$

Etapa 15.2.6.2.3

Reescreva a expressão.

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot e^{- \frac{1}{2}}$

Etapa 15.2.7

Reescreva a expressão usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.2.8

Multiplique $\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{\sqrt{2}}{2}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{e^{\frac{1}{2}} \cdot 2}$

Etapa 15.2.9

Mova $2$ para a esquerda de $e^{\frac{1}{2}}$ .

$f (- \frac{\sqrt{2}}{2}) = - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 15.2.10

A resposta final é $- \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$ .

$y = - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}}$

Etapa 16

Esses são os extremos locais para $f (x) = x e^{- x^{2}}$ .

$(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}})$ é um máximo local

$(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2 e^{\frac{1}{2}}})$ é um mínimo local

Etapa 17