Cálculo Exemplos

$f (x) = x^{4} - 12 x^{3}$

Etapa 1

Encontre a primeira derivada da função.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Diferencie.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 12 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Etapa 1.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Etapa 1.2.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2}$

Etapa 2

Encontre a segunda derivada da função.

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Etapa 2.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $4 x^{3} - 36 x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [4 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

$f'' (x) = \frac{d}{d x} (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Etapa 2.2

Avalie $\frac{d}{d x} [4 x^{3}]$ .

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Etapa 2.2.1

Como $4$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $4 x^{3}$ em relação a $x$ é $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$f'' (x) = 4 \frac{d}{d x} (x^{3}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Etapa 2.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$f'' (x) = 4 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Etapa 2.2.3

Multiplique $3$ por $4$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} + \frac{d}{d x} (- 36 x^{2})$

Etapa 2.3

Avalie $\frac{d}{d x} [- 36 x^{2}]$ .

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Etapa 2.3.1

Como $- 36$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 36 x^{2}$ em relação a $x$ é $- 36 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 \frac{d}{d x} x^{2}$

Etapa 2.3.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 2$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 36 (2 x)$

Etapa 2.3.3

Multiplique $2$ por $- 36$ .

$f'' (x) = 12 x^{2} - 72 x$

Etapa 3

Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a $0$ e resolva.

$4 x^{3} - 36 x^{2} = 0$

Etapa 4

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1

Encontre a primeira derivada.

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Etapa 4.1.1

Diferencie.

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Etapa 4.1.1.1

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x^{4} - 12 x^{3}$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 4.1.1.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 4$ .

$4 x^{3} + \frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$

Etapa 4.1.2

Avalie $\frac{d}{d x} [- 12 x^{3}]$ .

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Etapa 4.1.2.1

Como $- 12$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 12 x^{3}$ em relação a $x$ é $- 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$4 x^{3} - 12 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Etapa 4.1.2.2

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 3$ .

$4 x^{3} - 12 (3 x^{2})$

Etapa 4.1.2.3

Multiplique $3$ por $- 12$ .

$f' (x) = 4 x^{3} - 36 x^{2}$

Etapa 4.2

A primeira derivada de $f (x)$ com relação a $x$ é $4 x^{3} - 36 x^{2}$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2}$

Etapa 5

Defina a primeira derivada como igual a $0$ e resolva a equação $4 x^{3} - 36 x^{2} = 0$ .

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Etapa 5.1

Defina a primeira derivada como igual a $0$ .

$4 x^{3} - 36 x^{2} = 0$

Etapa 5.2

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3} - 36 x^{2}$ .

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Etapa 5.2.1

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{3}$ .

$4 x^{2} (x) - 36 x^{2} = 0$

Etapa 5.2.2

Fatore $4 x^{2}$ de $- 36 x^{2}$ .

$4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 9) = 0$

Etapa 5.2.3

Fatore $4 x^{2}$ de $4 x^{2} (x) + 4 x^{2} (- 9)$ .

$4 x^{2} (x - 9) = 0$

Etapa 5.3

Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a $0$ , toda a expressão será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x - 9 = 0$

Etapa 5.4

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.4.1

Defina $x^{2}$ como igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Etapa 5.4.2

Resolva $x^{2} = 0$ para $x$ .

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Etapa 5.4.2.1

Pegue a raiz especificada de ambos os lados da equação para eliminar o expoente no lado esquerdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Etapa 5.4.2.2

Simplifique $\pm \sqrt{0}$ .

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Etapa 5.4.2.2.1

Reescreva $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Etapa 5.4.2.2.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$x = \pm 0$

Etapa 5.4.2.2.3

Mais ou menos $0$ é $0$ .

$x = 0$

Etapa 5.5

Defina $x - 9$ como igual a $0$ e resolva para $x$ .

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Etapa 5.5.1

Defina $x - 9$ como igual a $0$ .

$x - 9 = 0$

Etapa 5.5.2

Some $9$ aos dois lados da equação.

$x = 9$

Etapa 5.6

A solução final são todos os valores que tornam $4 x^{2} (x - 9) = 0$ verdadeiro.

$x = 0, 9$

Etapa 6

Encontre os valores em que a derivada é indefinida.

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Etapa 6.1

O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.

Etapa 7

Pontos críticos para avaliar.

$x = 0, 9$

Etapa 8

Avalie a segunda derivada em $x = 0$ . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.

$12 {(0)}^{2} - 72 \cdot 0$

Etapa 9

Avalie a segunda derivada.

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Etapa 9.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 9.1.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$12 \cdot 0 - 72 \cdot 0$

Etapa 9.1.2

Multiplique $12$ por $0$ .

$0 - 72 \cdot 0$

Etapa 9.1.3

Multiplique $- 72$ por $0$ .

$0 + 0$

Etapa 9.2

Some $0$ e $0$ .

$0$

Etapa 10

Como há pelo menos um ponto com $0$ ou segunda derivada indefinida, aplique o teste da primeira derivada.

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Etapa 10.1

Divida $(- \infty, \infty)$ em intervalos separados em torno dos valores de $x$ que tornam a primeira derivada $0$ ou indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 9) \cup (9, \infty)$

Etapa 10.2

Substitua qualquer número, como $- 2$ , do intervalo $(- \infty, 0)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 36 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.2.1

Substitua a variável $x$ por $- 2$ na expressão.

$f' (- 2) = 4 {(- 2)}^{3} - 36 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.2.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.2.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.2.2.1.1

Eleve $- 2$ à potência de $3$ .

$f' (- 2) = 4 \cdot - 8 - 36 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.2

Multiplique $4$ por $- 8$ .

$f' (- 2) = - 32 - 36 {(- 2)}^{2}$

Etapa 10.2.2.1.3

Eleve $- 2$ à potência de $2$ .

$f' (- 2) = - 32 - 36 \cdot 4$

Etapa 10.2.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $4$ .

$f' (- 2) = - 32 - 144$

Etapa 10.2.2.2

Subtraia $144$ de $- 32$ .

$f' (- 2) = - 176$

Etapa 10.2.2.3

A resposta final é $- 176$ .

$- 176$

Etapa 10.3

Substitua qualquer número, como $4$ , do intervalo $(0, 9)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 36 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.3.1

Substitua a variável $x$ por $4$ na expressão.

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 36 {(4)}^{2}$

Etapa 10.3.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.3.2.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 10.3.2.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ somando os expoentes.

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Etapa 10.3.2.1.1.1

Multiplique $4$ por ${(4)}^{3}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.3.2.1.1.1.1

Eleve $4$ à potência de $1$ .

$f' (4) = 4 {(4)}^{3} - 36 {(4)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.1.1.2

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$f' (4) = 4^{1 + 3} - 36 {(4)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.1.2

Some $1$ e $3$ .

$f' (4) = 4^{4} - 36 {(4)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.2

Eleve $4$ à potência de $4$ .

$f' (4) = 256 - 36 {(4)}^{2}$

Etapa 10.3.2.1.3

Eleve $4$ à potência de $2$ .

$f' (4) = 256 - 36 \cdot 16$

Etapa 10.3.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $16$ .

$f' (4) = 256 - 576$

Etapa 10.3.2.2

Subtraia $576$ de $256$ .

$f' (4) = - 320$

Etapa 10.3.2.3

A resposta final é $- 320$ .

$- 320$

Etapa 10.4

Substitua qualquer número, como $12$ , do intervalo $(9, \infty)$ na primeira derivada $4 x^{3} - 36 x^{2}$ para verificar se o resultado é negativo ou positivo.

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Etapa 10.4.1

Substitua a variável $x$ por $12$ na expressão.

$f' (12) = 4 {(12)}^{3} - 36 {(12)}^{2}$

Etapa 10.4.2

Simplifique o resultado.

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Etapa 10.4.2.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 10.4.2.1.1

Eleve $12$ à potência de $3$ .

$f' (12) = 4 \cdot 1728 - 36 {(12)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.2

Multiplique $4$ por $1728$ .

$f' (12) = 6912 - 36 {(12)}^{2}$

Etapa 10.4.2.1.3

Eleve $12$ à potência de $2$ .

$f' (12) = 6912 - 36 \cdot 144$

Etapa 10.4.2.1.4

Multiplique $- 36$ por $144$ .

$f' (12) = 6912 - 5184$

Etapa 10.4.2.2

Subtraia $5184$ de $6912$ .

$f' (12) = 1728$

Etapa 10.4.2.3

A resposta final é $1728$ .

$1728$

Etapa 10.5

Como a primeira derivada não mudou os sinais em torno de $x = 0$ , este não é um máximo local nem um mínimo local.

Não é um máximo nem um mínimo local

Etapa 10.6

Como a primeira derivada mudou os sinais de negativo para positivo em torno de $x = 9$ , então $x = 9$ é um mínimo local.

$x = 9$ é um mínimo local

Etapa 11