Cálculo Exemplos

Encontre o Máximo e Mínimo Local f(x)=2x^3-3x^2-12x
Etapa 1
Encontre a primeira derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.2.3
Multiplique por .
Etapa 1.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.3.3
Multiplique por .
Etapa 1.4
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 1.4.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 1.4.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 1.4.3
Multiplique por .
Etapa 2
Encontre a segunda derivada da função.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 2.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.2.3
Multiplique por .
Etapa 2.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 2.3.3
Multiplique por .
Etapa 2.4
Diferencie usando a regra da constante.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 2.4.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 2.4.2
Some e .
Etapa 3
Para encontrar os valores máximo local e mínimo local da função, defina a derivada como igual a e resolva.
Etapa 4
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1
Encontre a primeira derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.1
De acordo com a regra da soma, a derivada de com relação a é .
Etapa 4.1.2
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.2.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.2.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.2.3
Multiplique por .
Etapa 4.1.3
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.3.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.3.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.3.3
Multiplique por .
Etapa 4.1.4
Avalie .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 4.1.4.1
Como é constante em relação a , a derivada de em relação a é .
Etapa 4.1.4.2
Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que é , em que .
Etapa 4.1.4.3
Multiplique por .
Etapa 4.2
A primeira derivada de com relação a é .
Etapa 5
Defina a primeira derivada como igual a e resolva a equação .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.1
Defina a primeira derivada como igual a .
Etapa 5.2
Fatore o lado esquerdo da equação.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1
Fatore de .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.1.1
Fatore de .
Etapa 5.2.1.2
Fatore de .
Etapa 5.2.1.3
Fatore de .
Etapa 5.2.1.4
Fatore de .
Etapa 5.2.1.5
Fatore de .
Etapa 5.2.2
Fatore.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.2.1
Fatore usando o método AC.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.2.2.1.1
Considere a forma . Encontre um par de números inteiros cujo produto é e cuja soma é . Neste caso, cujo produto é e cuja soma é .
Etapa 5.2.2.1.2
Escreva a forma fatorada usando estes números inteiros.
Etapa 5.2.2.2
Remova os parênteses desnecessários.
Etapa 5.3
Se qualquer fator individual no lado esquerdo da equação for igual a , toda a expressão será igual a .
Etapa 5.4
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.4.1
Defina como igual a .
Etapa 5.4.2
Some aos dois lados da equação.
Etapa 5.5
Defina como igual a e resolva para .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 5.5.1
Defina como igual a .
Etapa 5.5.2
Subtraia dos dois lados da equação.
Etapa 5.6
A solução final são todos os valores que tornam verdadeiro.
Etapa 6
Encontre os valores em que a derivada é indefinida.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 6.1
O domínio da expressão consiste em todos os números reais, exceto quando a expressão é indefinida. Nesse caso, não existe um número real que torne a expressão indefinida.
Etapa 7
Pontos críticos para avaliar.
Etapa 8
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 9
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 9.1
Multiplique por .
Etapa 9.2
Subtraia de .
Etapa 10
é um mínimo local, porque o valor da segunda derivada é positivo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um mínimo local
Etapa 11
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 11.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1.1
Multiplique por somando os expoentes.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1.1.1
Multiplique por .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.1.1.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 11.2.1.1.1.2
Use a regra da multiplicação de potências para combinar expoentes.
Etapa 11.2.1.1.2
Some e .
Etapa 11.2.1.2
Eleve à potência de .
Etapa 11.2.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 11.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 11.2.1.5
Multiplique por .
Etapa 11.2.2
Simplifique subtraindo os números.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 11.2.2.1
Subtraia de .
Etapa 11.2.2.2
Subtraia de .
Etapa 11.2.3
A resposta final é .
Etapa 12
Avalie a segunda derivada em . Se a segunda derivada for positiva, este será um mínimo local. Se for negativa, será um máximo local.
Etapa 13
Avalie a segunda derivada.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 13.1
Multiplique por .
Etapa 13.2
Subtraia de .
Etapa 14
é um máximo local, porque o valor da segunda derivada é negativo. Isso é conhecido como teste da segunda derivada.
é um máximo local
Etapa 15
Encontre o valor y quando .
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.1
Substitua a variável por na expressão.
Etapa 15.2
Simplifique o resultado.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.2.1
Simplifique cada termo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.2.1.1
Eleve à potência de .
Etapa 15.2.1.2
Multiplique por .
Etapa 15.2.1.3
Eleve à potência de .
Etapa 15.2.1.4
Multiplique por .
Etapa 15.2.1.5
Multiplique por .
Etapa 15.2.2
Simplifique somando e subtraindo.
Toque para ver mais passagens...
Etapa 15.2.2.1
Subtraia de .
Etapa 15.2.2.2
Some e .
Etapa 15.2.3
A resposta final é .
Etapa 16
Esses são os extremos locais para .
é um mínimo local
é um máximo local
Etapa 17