Cálculo Exemplos

$\sum_{i = 1}^{20} {(i - 1)}^{2}$

Etapa 1

Simplifique a soma.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Reescreva ${(i - 1)}^{2}$ como $(i - 1) (i - 1)$ .

$(i - 1) (i - 1)$

Etapa 1.2

Expanda $(i - 1) (i - 1)$ usando o método FOIL.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$i (i - 1) - 1 (i - 1)$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 (i - 1)$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$i \cdot i + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.3.1.1

Multiplique $i$ por $i$ .

$i^{2} + i \cdot - 1 - 1 i - 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $i$ .

$i^{2} - 1 \cdot i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.1.3

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$i^{2} - i - 1 i - 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.1.4

Reescreva $- 1 i$ como $- i$ .

$i^{2} - i - i - 1 \cdot - 1$

Etapa 1.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$i^{2} - i - i + 1$

Etapa 1.3.2

Subtraia $i$ de $- i$ .

$i^{2} - 2 i + 1$

Etapa 1.4

Reescreva a soma.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1$

Etapa 2

Divida a soma em somas menores que se enquadrem nas regras da soma.

$\sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 i + 1 = \sum_{i = 1}^{20} i^{2} - 2 \sum_{i = 1}^{20} i + \sum_{i = 1}^{20} 1$

Etapa 3

Avalie $\sum_{i = 1}^{20} i^{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $2$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i^{2} = \frac{n (n + 1) (2 n + 1)}{6}$

Etapa 3.2

Substitua os valores na fórmula.

$\frac{20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{6}$

Etapa 3.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1

Cancele o fator comum de $20$ e $6$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.1

Fatore $2$ de $20 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{6}$

Etapa 3.3.1.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.1.2.1

Fatore $2$ de $6$ .

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 (3)}$

Etapa 3.3.1.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{2 (10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1))}{2 \cdot 3}$

Etapa 3.3.1.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{10 (20 + 1) (2 \cdot 20 + 1)}{3}$

Etapa 3.3.2

Simplifique o numerador.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.2.1

Multiplique $2$ por $20$ .

$\frac{10 (20 + 1) (40 + 1)}{3}$

Etapa 3.3.2.2

Some $20$ e $1$ .

$\frac{10 \cdot 21 (40 + 1)}{3}$

Etapa 3.3.2.3

Multiplique $10$ por $21$ .

$\frac{210 (40 + 1)}{3}$

Etapa 3.3.2.4

Some $40$ e $1$ .

$\frac{210 \cdot 41}{3}$

Etapa 3.3.3

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 3.3.3.1

Multiplique $210$ por $41$ .

$\frac{8610}{3}$

Etapa 3.3.3.2

Divida $8610$ por $3$ .

$2870$

Etapa 4

Avalie $2 \sum_{i = 1}^{20} i$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

A fórmula da soma de um polinômio com grau $1$ é:

$\sum_{k = 1}^{n} i = \frac{n (n + 1)}{2}$

Etapa 4.2

Substitua os valores na fórmula e multiplique pelo termo da frente.

$(- 2) (\frac{20 (20 + 1)}{2})$

Etapa 4.3

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1

Simplifique a expressão.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.1.1

Some $20$ e $1$ .

$- 2 \frac{20 \cdot 21}{2}$

Etapa 4.3.1.2

Multiplique $20$ por $21$ .

$- 2 (\frac{420}{2})$

Etapa 4.3.2

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.3.2.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{420}{2}$

Etapa 4.3.2.2

Cancele o fator comum.

$2 \cdot - 1 \frac{420}{2}$

Etapa 4.3.2.3

Reescreva a expressão.

$- 1 \cdot 420$

Etapa 4.3.3

Multiplique $- 1$ por $420$ .

$- 420$

Etapa 5

Avalie $\sum_{i = 1}^{20} 1$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 5.1

A fórmula da soma de uma constante é:

$\sum_{k = 1}^{n} c = c n$

Etapa 5.2

Substitua os valores na fórmula.

$(1) (20)$

Etapa 5.3

Multiplique $20$ por $1$ .

$20$

Etapa 6

Adicione os resultados das somas.

$2870 - 420 + 20$

Etapa 7

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1

Subtraia $420$ de $2870$ .

$2450 + 20$

Etapa 7.2

Some $2450$ e $20$ .

$2470$