Cálculo Exemplos

$\int {(e^{t} + 1)}^{2} d t$

Etapa 1

Simplifique.

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Etapa 1.1

Reescreva ${(e^{t} + 1)}^{2}$ como $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ .

$\int (e^{t} + 1) (e^{t} + 1) d t$

Etapa 1.2

Expanda $(e^{t} + 1) (e^{t} + 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 1.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int e^{t} (e^{t} + 1) + 1 (e^{t} + 1) d t$

Etapa 1.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 (e^{t} + 1) d t$

Etapa 1.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$\int e^{t} e^{t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Etapa 1.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 1.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 1.3.1.1

Multiplique $e^{t}$ por $e^{t}$ somando os expoentes.

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Etapa 1.3.1.1.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$\int e^{t + t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Etapa 1.3.1.1.2

Some $t$ e $t$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} \cdot 1 + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Etapa 1.3.1.2

Multiplique $e^{t}$ por $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + 1 e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Etapa 1.3.1.3

Multiplique $e^{t}$ por $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 \cdot 1 d t$

Etapa 1.3.1.4

Multiplique $1$ por $1$ .

$\int e^{2 t} + e^{t} + e^{t} + 1 d t$

Etapa 1.3.2

Some $e^{t}$ e $e^{t}$ .

$\int e^{2 t} + 2 e^{t} + 1 d t$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int e^{2 t} d t + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Etapa 3

Deixe $u = 2 t$ . Depois, $d u = 2 d t$ , então, $\frac{1}{2} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 3.1

Deixe $u = 2 t$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 3.1.1

Diferencie $2 t$ .

$\frac{d}{d t} [2 t]$

Etapa 3.1.2

Como $2$ é constante em relação a $t$ , a derivada de $2 t$ em relação a $t$ é $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$2 \frac{d}{d t} [t]$

Etapa 3.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ é $n t^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$2 \cdot 1$

Etapa 3.1.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2$

Etapa 3.2

Reescreva o problema usando $u$ e $d u$ .

$\int e^{u} \frac{1}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Etapa 4

Combine $e^{u}$ e $\frac{1}{2}$ .

$\int \frac{e^{u}}{2} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $u$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} \int e^{u} d u + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Etapa 6

A integral de $e^{u}$ com relação a $u$ é $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + \int 2 e^{t} d t + \int d t$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $t$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 \int e^{t} d t + \int d t$

Etapa 8

A integral de $e^{t}$ com relação a $t$ é $e^{t}$ .

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + \int d t$

Etapa 9

Aplique a regra da constante.

$\frac{1}{2} (e^{u} + C) + 2 (e^{t} + C) + t + C$

Etapa 10

Simplifique.

$\frac{1}{2} e^{u} + 2 e^{t} + t + C$

Etapa 11

Substitua todas as ocorrências de $u$ por $2 t$ .

$\frac{1}{2} e^{2 t} + 2 e^{t} + t + C$