Cálculo Exemplos

$\int_{1}^{7} \frac{\ln ({(x)}^{2})}{x^{3}} d x$

Etapa 1

Reescreva $\frac{\ln (x^{2})}{x^{3}}$ como $\frac{2 \ln (x)}{x^{3}}$ .

$\int_{1}^{7} \frac{2 \ln (x)}{x^{3}} d x$

Etapa 2

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$2 \int_{1}^{7} \frac{\ln (x)}{x^{3}} d x$

Etapa 3

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 3.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) {(x^{3})}^{- 1} d x$

Etapa 3.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 3.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{3 \cdot - 1} d x$

Etapa 3.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 \int_{1}^{7} \ln (x) x^{- 3} d x$

Etapa 4

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (x)$ e $d v = x^{- 3}$ .

$2 (\ln (x) (- \frac{1}{2 x^{2}})]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 5

Simplifique.

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Etapa 5.1

Combine $\ln (x)$ e $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{2}} \cdot \frac{1}{x} d x)$

Etapa 5.2

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $\frac{1}{2 x^{2}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{x (2 x^{2})} d x)$

Etapa 5.3

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 (x^{1} x^{2})} d x)$

Etapa 5.4

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{1 + 2}} d x)$

Etapa 5.5

Some $1$ e $2$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - \int_{1}^{7} - \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Etapa 6

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} - - \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + 1 \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Etapa 7.2

Multiplique $\int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x$ por $1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \int_{1}^{7} \frac{1}{2 x^{3}} d x)$

Etapa 8

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} \frac{1}{x^{3}} d x)$

Etapa 9

Aplique regras básicas de expoentes.

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Etapa 9.1

Mova $x^{3}$ para fora do denominador, elevando-o à $- 1$ potência.

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} {(x^{3})}^{- 1} d x)$

Etapa 9.2

Multiplique os expoentes em ${(x^{3})}^{- 1}$ .

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Etapa 9.2.1

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{3 \cdot - 1} d x)$

Etapa 9.2.2

Multiplique $3$ por $- 1$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} \int_{1}^{7} x^{- 3} d x)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{- 3}$ com relação a $x$ é $- \frac{1}{2} x^{- 2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{1}{2} x^{- 2}]_{1}^{7})$

Etapa 11

Simplifique a resposta.

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Etapa 11.1

Simplifique.

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Etapa 11.1.1

Combine $x^{- 2}$ e $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{1}{2} - \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7})$

Etapa 11.1.2

Combine $\frac{1}{2}$ e $- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{x^{- 2}}{2}]_{1}^{7}}{2})$

Etapa 11.1.3

Mova $x^{- 2}$ para o denominador usando a regra do expoente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$2 (- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}]_{1}^{7} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Etapa 11.2

Substitua e simplifique.

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Etapa 11.2.1

Avalie $- \frac{\ln (x)}{2 x^{2}}$ em $7$ e em $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{- \frac{1}{2 x^{2}}]_{1}^{7}}{2})$

Etapa 11.2.2

Avalie $- \frac{1}{2 x^{2}}$ em $7$ e em $1$ .

$2 ((- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Etapa 11.2.3

Simplifique.

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Etapa 11.2.3.1

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{2 \cdot 49} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Etapa 11.2.3.2

Multiplique $2$ por $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1^{2}} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Etapa 11.2.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2 \cdot 1} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Etapa 11.2.3.4

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{(- \frac{1}{2 \cdot 7^{2}}) + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Etapa 11.2.3.5

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{2 \cdot 49} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Etapa 11.2.3.6

Multiplique $2$ por $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1^{2}}}{2})$

Etapa 11.2.3.7

Um elevado a qualquer potência é um.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2 \cdot 1}}{2})$

Etapa 11.2.3.8

Multiplique $2$ por $1$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2}}{2})$

Etapa 11.2.3.9

Para escrever $\frac{1}{2}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{1}{2} \cdot \frac{49}{49}}{2})$

Etapa 11.2.3.10

Escreva cada expressão com um denominador comum de $98$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 11.2.3.10.1

Multiplique $\frac{1}{2}$ por $\frac{49}{49}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{2 \cdot 49}}{2})$

Etapa 11.2.3.10.2

Multiplique $2$ por $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{- \frac{1}{98} + \frac{49}{98}}{2})$

Etapa 11.2.3.11

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{- 1 + 49}{98}}{2})$

Etapa 11.2.3.12

Some $- 1$ e $49$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{48}{98}}{2})$

Etapa 11.2.3.13

Cancele o fator comum de $48$ e $98$ .

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Etapa 11.2.3.13.1

Fatore $2$ de $48$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 (24)}{98}}{2})$

Etapa 11.2.3.13.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.13.2.1

Fatore $2$ de $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Etapa 11.2.3.13.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{2 \cdot 24}{2 \cdot 49}}{2})$

Etapa 11.2.3.13.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{\frac{24}{49}}{2})$

Etapa 11.2.3.14

Reescreva $\frac{\frac{24}{49}}{2}$ como um produto.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49} \cdot \frac{1}{2})$

Etapa 11.2.3.15

Multiplique $\frac{24}{49}$ por $\frac{1}{2}$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{49 \cdot 2})$

Etapa 11.2.3.16

Multiplique $49$ por $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{24}{98})$

Etapa 11.2.3.17

Cancele o fator comum de $24$ e $98$ .

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Etapa 11.2.3.17.1

Fatore $2$ de $24$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 (12)}{98})$

Etapa 11.2.3.17.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 11.2.3.17.2.1

Fatore $2$ de $98$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Etapa 11.2.3.17.2.2

Cancele o fator comum.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{2 \cdot 12}{2 \cdot 49})$

Etapa 11.2.3.17.2.3

Reescreva a expressão.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{\ln (1)}{2} + \frac{12}{49})$

Etapa 12

Simplifique.

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Etapa 12.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 12.1.1

O logaritmo natural de $1$ é $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{0}{2} + \frac{12}{49})$

Etapa 12.1.2

Divida $0$ por $2$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + 0 + \frac{12}{49})$

Etapa 12.2

Some $- \frac{\ln (7)}{98}$ e $0$ .

$2 (- \frac{\ln (7)}{98} + \frac{12}{49})$

Etapa 12.3

Aplique a propriedade distributiva.

$2 (- \frac{\ln (7)}{98}) + 2 (\frac{12}{49})$

Etapa 12.4

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 12.4.1

Mova o negativo de maior ordem em $- \frac{\ln (7)}{98}$ para o numerador.

$2 \frac{- \ln (7)}{98} + 2 (\frac{12}{49})$

Etapa 12.4.2

Fatore $2$ de $98$ .

$2 \frac{- \ln (7)}{2 (49)} + 2 (\frac{12}{49})$

Etapa 12.4.3

Cancele o fator comum.

$2 \frac{- \ln (7)}{2 \cdot 49} + 2 (\frac{12}{49})$

Etapa 12.4.4

Reescreva a expressão.

$\frac{- \ln (7)}{49} + 2 (\frac{12}{49})$

Etapa 12.5

Multiplique $2 (\frac{12}{49})$ .

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Etapa 12.5.1

Combine $2$ e $\frac{12}{49}$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{2 \cdot 12}{49}$

Etapa 12.5.2

Multiplique $2$ por $12$ .

$\frac{- \ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Etapa 12.6

Mova o número negativo para a frente da fração.

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Etapa 13

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$- \frac{\ln (7)}{49} + \frac{24}{49}$

Forma decimal:

$0.45008346 \dots$