Cálculo Exemplos

$\int \frac{5 x^{5} + 5 x^{2} + 10}{x^{3} - x} d x$

Etapa 1

Divida $5 x^{5} + 5 x^{2} + 10$ por $x^{3} - x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Estabeleça os polinômios a serem divididos. Se não houver um termo para cada expoente, insira um com valor de $0$ .

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Etapa 1.2

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{5}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Etapa 1.3

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

Etapa 1.4

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{5} + 0 - 5 x^{3} + 0$ .

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

Etapa 1.5

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

Etapa 1.6

Tire o próximo termo do dividendo original e o coloque no dividendo atual.

$5 x^{2}$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Etapa 1.7

Divida o termo de ordem mais alta no dividendo $5 x^{3}$ pelo termo de ordem mais alta no divisor $x^{3}$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

Etapa 1.8

Multiplique o novo termo do quociente pelo divisor.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

Etapa 1.9

A expressão precisa ser subtraída do dividendo. Portanto, altere todos os sinais em $5 x^{3} + 0 - 5 x + 0$ .

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

Etapa 1.10

Depois de alterar os sinais, some o último dividendo do polinômio multiplicado para encontrar o novo dividendo.

$5 x^{2}$

$0 x$

$5$

$x^{3}$

$0 x^{2}$

$x$

$0$

$5 x^{5}$

$0 x^{4}$

$0 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{5}$

$0$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x^{3}$

$5 x^{2}$

$0 x$

$10$

$5 x^{3}$

$0$

$5 x$

$0$

$5 x^{2}$

$5 x$

$10$

Etapa 1.11

A resposta final é o quociente mais o resto sobre o divisor.

$\int 5 x^{2} + 5 + \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int 5 x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Etapa 3

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 \int x^{2} d x + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Etapa 4

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x^{2}$ com relação a $x$ é $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + \int 5 d x + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Etapa 5

Aplique a regra da constante.

$5 (\frac{1}{3} x^{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Etapa 6

Combine $\frac{1}{3}$ e $x^{3}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int \frac{5 x^{2} + 5 x + 10}{x^{3} - x} d x$

Etapa 7

Escreva a fração usando a decomposição da fração parcial.

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Etapa 7.1

Decomponha a fração e multiplique pelo denominador comum.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1

Fatore a fração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1

Fatore $5$ de $5 x^{2} + 5 x + 10$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.1.1.1.1

Fatore $5$ de $5 x^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 10}{x^{3} - x}$

Etapa 7.1.1.1.2

Fatore $5$ de $5 x$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 (x) + 10}{x^{3} - x}$

Etapa 7.1.1.1.3

Fatore $5$ de $10$ .

$\frac{5 (x^{2}) + 5 x + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Etapa 7.1.1.1.4

Fatore $5$ de $5 (x^{2}) + 5 x$ .

$\frac{5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2}{x^{3} - x}$

Etapa 7.1.1.1.5

Fatore $5$ de $5 (x^{2} + x) + 5 \cdot 2$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x^{3} - x}$

Etapa 7.1.1.2

Fatore $x$ de $x^{3} - x$ .

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Etapa 7.1.1.2.1

Fatore $x$ de $x^{3}$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} - x}$

Etapa 7.1.1.2.2

Fatore $x$ de $- x$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x \cdot x^{2} + x \cdot - 1}$

Etapa 7.1.1.2.3

Fatore $x$ de $x \cdot x^{2} + x \cdot - 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1)}$

Etapa 7.1.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x^{2} - 1^{2})}$

Etapa 7.1.1.4

Fatore.

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Etapa 7.1.1.4.1

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = x$ e $b = 1$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x ((x + 1) (x - 1))}$

Etapa 7.1.1.4.2

Remova os parênteses desnecessários.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2)}{x (x + 1) (x - 1)}$

Etapa 7.1.2

Para cada fator no denominador, crie uma fração usando o fator como denominador e um valor desconhecido como numerador. Como o fator no denominador é linear, coloque uma única variável em seu lugar $B$ .

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1}$

Etapa 7.1.3

$\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$

Etapa 7.1.4

Multiplique cada fração na equação pelo denominador da expressão original. Nesse caso, o denominador é $x (x + 1) (x - 1)$ .

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.5

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.1.5.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x (x + 1) (x - 1))}{x (x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.5.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.6

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 7.1.6.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) ((x + 1) (x - 1))}{(x + 1) (x - 1)} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.6.2

Reescreva a expressão.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.7

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 7.1.7.1

Cancele o fator comum.

$\frac{5 (x^{2} + x + 2) (x - 1)}{x - 1} = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.7.2

Divida $5 (x^{2} + x + 2)$ por $1$ .

$5 (x^{2} + x + 2) = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.8

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 5 \cdot 2 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.9

Multiplique $5$ por $2$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.10.1

Cancele o fator comum de $x$ .

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Etapa 7.1.10.1.1

Cancele o fator comum.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = \frac{A (x (x + 1) (x - 1))}{x} + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.1.2

Divida $A ((x + 1) (x - 1))$ por $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A ((x + 1) (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.2

Expanda $(x + 1) (x - 1)$ usando o método FOIL.

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Etapa 7.1.10.2.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x (x - 1) + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.2.2

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 (x - 1)) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.2.3

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x \cdot x + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.3

Simplifique e combine termos semelhantes.

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Etapa 7.1.10.3.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 7.1.10.3.1.1

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + x \cdot - 1 + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.3.1.2

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1 \cdot x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.3.1.3

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + 1 x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.3.1.4

Multiplique $x$ por $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x + 1 \cdot - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.3.1.5

Multiplique $- 1$ por $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - x + x - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.3.2

Some $- x$ e $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} + 0 - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.3.3

Some $x^{2}$ e $0$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A (x^{2} - 1) + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.4

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + A \cdot - 1 + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.5

Mova $- 1$ para a esquerda de $A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - 1 \cdot A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.6

Reescreva $- 1 A$ como $- A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{(B) (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.7

Cancele o fator comum de $x + 1$ .

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Etapa 7.1.10.7.1

Cancele o fator comum.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + \frac{B (x (x + 1) (x - 1))}{x + 1} + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.7.2

Divida $(B) (x (x - 1))$ por $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + (B) (x (x - 1)) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.8

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x \cdot x + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.9

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} + x \cdot - 1) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.10

Mova $- 1$ para a esquerda de $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - 1 \cdot x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.11

Reescreva $- 1 x$ como $- x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B (x^{2} - x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.12

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} + B (- x) + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.13

Reescreva usando a propriedade comutativa da multiplicação.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{(C) (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.14

Cancele o fator comum de $x - 1$ .

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Etapa 7.1.10.14.1

Cancele o fator comum.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + \frac{C (x (x + 1) (x - 1))}{x - 1}$

Etapa 7.1.10.14.2

Divida $(C) (x (x + 1))$ por $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + (C) (x (x + 1))$

Etapa 7.1.10.15

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x \cdot x + x \cdot 1)$

Etapa 7.1.10.16

Multiplique $x$ por $x$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x \cdot 1)$

Etapa 7.1.10.17

Multiplique $x$ por $1$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C (x^{2} + x)$

Etapa 7.1.10.18

Aplique a propriedade distributiva.

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - B x + C x^{2} + C x$

Etapa 7.1.11

Simplifique a expressão.

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Etapa 7.1.11.1

Mova $B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} - A + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x$

Etapa 7.1.11.2

Mova $- A$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} - x B + C x^{2} + C x - A$

Etapa 7.1.11.3

Mova $- x B$ .

$5 x^{2} + 5 x + 10 = A x^{2} + B x^{2} + C x^{2} - x B + C x - A$

Etapa 7.2

Crie equações para as variáveis da fração parcial e use-as para estabelecer um sistema de equações.

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Etapa 7.2.1

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x^{2}$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = A + B + C$

Etapa 7.2.2

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes de $x$ de cada lado da equação. Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.2.3

Para criar uma equação para as variáveis de fração parcial, equacione os coeficientes dos termos que não contêm $x$ . Para que a equação seja igual, os coeficientes equivalentes em cada lado da equação devem ser iguais.

$10 = - 1 A$

Etapa 7.2.4

Monte o sistema de equações para encontrar os coeficientes das frações parciais.

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$10 = - 1 A$

Etapa 7.3

Resolva o sistema de equações.

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Etapa 7.3.1

Resolva $A$ em $10 = - 1 A$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.1

Reescreva a equação como $- 1 A = 10$ .

$- 1 A = 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.3.1.2

Divida cada termo em $- 1 A = 10$ por $- 1$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.1

Divida cada termo em $- 1 A = 10$ por $- 1$ .

$\frac{- 1 A}{- 1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.3.1.2.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.2.1

Dividir dois valores negativos resulta em um valor positivo.

$\frac{A}{1} = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.3.1.2.2.2

Divida $A$ por $1$ .

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = \frac{10}{- 1}$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.3.1.2.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.1.2.3.1

Divida $10$ por $- 1$ .

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

$A = - 10$

$5 = A + B + C$

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.3.2

Substitua todas as ocorrências de $A$ por $- 10$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.1

Substitua todas as ocorrências de $A$ em $5 = A + B + C$ por $- 10$ .

$5 = (- 10) + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.3.2.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.2.2.1

Remova os parênteses.

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$5 = - 10 + B + C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.3.3

Resolva $B$ em $5 = - 10 + B + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.1

Reescreva a equação como $- 10 + B + C = 5$ .

$- 10 + B + C = 5$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.3.3.2

Mova todos os termos que não contêm $B$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.3.2.1

Some $10$ aos dois lados da equação.

$B + C = 5 + 10$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.3.3.2.2

Subtraia $C$ dos dois lados da equação.

$B = 5 + 10 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.3.3.2.3

Some $5$ e $10$ .

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 1 B + C$

Etapa 7.3.4

Substitua todas as ocorrências de $B$ por $15 - C$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.1

Substitua todas as ocorrências de $B$ em $5 = - 1 B + C$ por $15 - C$ .

$5 = - 1 (15 - C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.4.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.2.1

Simplifique $- 1 (15 - C) + C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.2.1.1

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.2.1.1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$5 = - 1 \cdot 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.4.2.1.1.2

Multiplique $- 1$ por $15$ .

$5 = - 15 - 1 (- C) + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.4.2.1.1.3

Multiplique $- 1 (- C)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.4.2.1.1.3.1

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$5 = - 15 + 1 C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.4.2.1.1.3.2

Multiplique $C$ por $1$ .

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + C + C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.4.2.1.2

Some $C$ e $C$ .

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$5 = - 15 + 2 C$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.5

Resolva $C$ em $5 = - 15 + 2 C$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.1

Reescreva a equação como $- 15 + 2 C = 5$ .

$- 15 + 2 C = 5$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.5.2

Mova todos os termos que não contêm $C$ para o lado direito da equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.2.1

Some $15$ aos dois lados da equação.

$2 C = 5 + 15$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.5.2.2

Some $5$ e $15$ .

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$2 C = 20$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.5.3

Divida cada termo em $2 C = 20$ por $2$ e simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.3.1

Divida cada termo em $2 C = 20$ por $2$ .

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.5.3.2

Simplifique o lado esquerdo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.3.2.1

Cancele o fator comum de $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.3.2.1.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2 C}{2} = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.5.3.2.1.2

Divida $C$ por $1$ .

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = \frac{20}{2}$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.5.3.3

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.5.3.3.1

Divida $20$ por $2$ .

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

$C = 10$

$B = 15 - C$

$A = - 10$

Etapa 7.3.6

Substitua todas as ocorrências de $C$ por $10$ em cada equação.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.6.1

Substitua todas as ocorrências de $C$ em $B = 15 - C$ por $10$ .

$B = 15 - (10)$

$C = 10$

$A = - 10$

Etapa 7.3.6.2

Simplifique o lado direito.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.6.2.1

Simplifique $15 - (10)$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 7.3.6.2.1.1

Multiplique $- 1$ por $10$ .

$B = 15 - 10$

$C = 10$

$A = - 10$

Etapa 7.3.6.2.1.2

Subtraia $10$ de $15$ .

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

$B = 5$

$C = 10$

$A = - 10$

Etapa 7.3.7

Liste todas as soluções.

$B = 5, C = 10, A = - 10$

Etapa 7.4

Substitua cada um dos coeficientes de fração parcial em $\frac{A}{x} + \frac{B}{x + 1} + \frac{C}{x - 1}$ pelos valores encontrados para $A$ , $B$ e $C$ .

$- \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1}$

Etapa 7.5

Mova o número negativo para a frente da fração.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} + \frac{5}{x + 1} + \frac{10}{x - 1} d x$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C + \int - \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - \int \frac{10}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Etapa 10

Como $10$ é constante com relação a $x$ , mova $10$ para fora da integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - (10 \int \frac{1}{x} d x) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Etapa 11

Multiplique $10$ por $- 1$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 \int \frac{1}{x} d x + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Etapa 12

A integral de $\frac{1}{x}$ com relação a $x$ é $\ln (| x |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + \int \frac{5}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Etapa 13

Como $5$ é constante com relação a $x$ , mova $5$ para fora da integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{x + 1} d x + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Etapa 14

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Depois, $d u_{1} = d x$ . Reescreva usando $u_{1}$ e $d$ $u_{1}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1

Deixe $u_{1} = x + 1$ . Encontre $\frac{d u_{1}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 14.1.1

Diferencie $x + 1$ .

$\frac{d}{d x} [x + 1]$

Etapa 14.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x + 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 14.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [1]$

Etapa 14.1.4

Como $1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 14.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 14.2

Reescreva o problema usando $u_{1}$ e $d u_{1}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 \int \frac{1}{u_{1}} d u_{1} + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Etapa 15

A integral de $\frac{1}{u_{1}}$ com relação a $u_{1}$ é $\ln (| u_{1} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + \int \frac{10}{x - 1} d x$

Etapa 16

Como $10$ é constante com relação a $x$ , mova $10$ para fora da integral.

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{x - 1} d x$

Etapa 17

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Depois, $d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1

Deixe $u_{2} = x - 1$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 17.1.1

Diferencie $x - 1$ .

$\frac{d}{d x} [x - 1]$

Etapa 17.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $x - 1$ com relação a $x$ é $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 17.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- 1]$

Etapa 17.1.4

Como $- 1$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $- 1$ em relação a $x$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 17.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 17.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 \int \frac{1}{u_{2}} d u_{2}$

Etapa 18

A integral de $\frac{1}{u_{2}}$ com relação a $u_{2}$ é $\ln (| u_{2} |)$ .

$5 (\frac{x^{3}}{3} + C) + 5 x + C - 10 (\ln (| x |) + C) + 5 (\ln (| u_{1} |) + C) + 10 (\ln (| u_{2} |) + C)$

Etapa 19

Simplifique.

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| u_{1} |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 20

Substitua novamente para cada variável de substituição de integração.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 20.1

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $x + 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| u_{2} |) + C$

Etapa 20.2

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $x - 1$ .

$\frac{5 x^{3}}{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$

Etapa 21

Reordene os termos.

$\frac{5}{3} x^{3} + 5 x - 10 \ln (| x |) + 5 \ln (| x + 1 |) + 10 \ln (| x - 1 |) + C$