Cálculo Exemplos

$\int (2 x - 1) \ln (7 x) d x$

Etapa 1

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.1

Aplique a propriedade distributiva.

$\int 2 x \ln (7 x) - 1 \ln (7 x) d x$

Etapa 1.2

Simplifique $2 \ln (7 x)$ movendo $2$ para dentro do logaritmo.

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - 1 \ln (7 x) d x$

Etapa 1.3

Reescreva $- 1 \ln (7 x)$ como $- \ln (7 x)$ .

$\int x \ln ({(7 x)}^{2}) - \ln (7 x) d x$

Etapa 1.4

Simplifique cada termo.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 1.4.1

Aplique a regra do produto a $7 x$ .

$\int x \ln (7^{2} x^{2}) - \ln (7 x) d x$

Etapa 1.4.2

Eleve $7$ à potência de $2$ .

$\int x \ln (49 x^{2}) - \ln (7 x) d x$

Etapa 2

Divida a integral única em várias integrais.

$\int x \ln (49 x^{2}) d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 3

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (49 x^{2})$ e $d v = x$ .

$\ln (49 x^{2}) (\frac{1}{2} x^{2}) - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 4

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 4.1

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\ln (49 x^{2}) \frac{x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 4.2

Combine $\ln (49 x^{2})$ e $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int \frac{1}{2} x^{2} \frac{2}{x} d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 5

Como $\frac{1}{2}$ é constante com relação a $x$ , mova $\frac{1}{2}$ para fora da integral.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int x^{2} \frac{2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 6

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.1

Combine $x^{2}$ e $\frac{2}{x}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x^{2} \cdot 2}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 6.2

Mova $2$ para a esquerda de $x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 \cdot x^{2}}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 6.3

Cancele o fator comum de $x^{2}$ e $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.1

Fatore $x$ de $2 x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 6.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 6.3.2.1

Eleve $x$ à potência de $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x^{1}} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 6.3.2.2

Fatore $x$ de $x^{1}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 6.3.2.3

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{x (2 x)}{x \cdot 1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 6.3.2.4

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int \frac{2 x}{1} d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 6.3.2.5

Divida $2 x$ por $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} \int 2 x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} \int 2 x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 7

Como $2$ é constante com relação a $x$ , mova $2$ para fora da integral.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{1}{2} (2 \int x d x) + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 8

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.1

Multiplique $2$ por $- 1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - 2 (\frac{1}{2}) \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 8.2

Combine $- 2$ e $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 2}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 8.3

Cancele o fator comum de $- 2$ e $2$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.1

Fatore $2$ de $- 2$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 8.3.2

Cancele os fatores comuns.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 8.3.2.1

Fatore $2$ de $2$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 (1)} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 8.3.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 8.3.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} + \frac{- 1}{1} \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 8.3.2.4

Divida $- 1$ por $1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \int x d x + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 9

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $x$ com relação a $x$ é $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{1}{2} x^{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 10

Combine $\frac{1}{2}$ e $x^{2}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) + \int - \ln (7 x) d x$

Etapa 11

Como $- 1$ é constante com relação a $x$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - \int \ln (7 x) d x$

Etapa 12

Integre por partes usando a fórmula $\int u d v = u v - \int v d u$ , em que $u = \ln (7 x)$ e $d v = 1$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int x \frac{1}{x} d x)$

Etapa 13

Simplifique.

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.1

Combine $x$ e $\frac{1}{x}$ .

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Etapa 13.2

Cancele o fator comum de $x$ .

Toque para ver mais passagens...

Etapa 13.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int \frac{x}{x} d x)$

Etapa 13.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - \int d x)$

Etapa 14

Aplique a regra da constante.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - (\frac{x^{2}}{2} + C) - (\ln (7 x) x - (x + C))$

Etapa 15

Simplifique.

$\frac{\ln (49 x^{2}) x^{2}}{2} - \frac{x^{2}}{2} - \ln (7 x) x + x + C$

Etapa 16

Reordene os termos.

$\frac{1}{2} \ln (49 x^{2}) x^{2} - \frac{1}{2} x^{2} - \ln (7 x) x + x + C$