Cálculo Exemplos

$8 \int_{0}^{1} x^{3} \sqrt{1 - x^{2}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $\cos (t)$ é positivo.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{1 - \sin^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{1 - \sin^{2} (t)}$ .

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Etapa 2.1.1

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \sqrt{\cos^{2} (t)} \cos (t) d t$

Etapa 2.1.2

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos (t) \cos (t) d t$

Etapa 2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.1

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.2

Eleve $\cos (t)$ à potência de $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) (\cos^{1} (t) \cos^{1} (t)) d t$

Etapa 2.2.3

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) {\cos (t)}^{1 + 1} d t$

Etapa 2.2.4

Some $1$ e $1$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{3} (t) \cos^{2} (t) d t$

Etapa 3

Fatore $\sin^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sin^{2} (t) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Etapa 4

Usando a fórmula de Pitágoras, reescreva $\sin^{2} (t)$ como $1 - \cos^{2} (t)$ .

$8 \int_{0}^{\frac{π}{2}} (1 - \cos^{2} (t)) \sin (t) \cos^{2} (t) d t$

Etapa 5

Deixe $u = \cos (t)$ . Depois, $d u = - \sin (t) d t$ , então, $- \frac{1}{\sin (t)} d u = d t$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 5.1

Deixe $u = \cos (t)$ . Encontre $\frac{d u}{d t}$ .

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Etapa 5.1.1

Diferencie $\cos (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\cos (t)]$

Etapa 5.1.2

A derivada de $\cos (t)$ em relação a $t$ é $- \sin (t)$ .

$- \sin (t)$

Etapa 5.2

Substitua o limite inferior por $t$ em $u = \cos (t)$ .

$u_{lower} = \cos (0)$

Etapa 5.3

O valor exato de $\cos (0)$ é $1$ .

$u_{lower} = 1$

Etapa 5.4

Substitua o limite superior por $t$ em $u = \cos (t)$ .

$u_{upper} = \cos (\frac{π}{2})$

Etapa 5.5

O valor exato de $\cos (\frac{π}{2})$ é $0$ .

$u_{upper} = 0$

Etapa 5.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 1$

$u_{upper} = 0$

Etapa 5.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$8 \int_{1}^{0} (- 1 + u^{2}) u^{2} d u$

Etapa 6

Multiplique $(- 1 + u^{2}) u^{2}$ .

$8 \int_{1}^{0} - 1 u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 7

Simplifique.

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Etapa 7.1

Reescreva $- 1 u^{2}$ como $- u^{2}$ .

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2} u^{2} d u$

Etapa 7.2

Multiplique $u^{2}$ por $u^{2}$ somando os expoentes.

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Etapa 7.2.1

Use a regra da multiplicação de potências $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar expoentes.

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{2 + 2} d u$

Etapa 7.2.2

Some $2$ e $2$ .

$8 \int_{1}^{0} - u^{2} + u^{4} d u$

Etapa 8

Divida a integral única em várias integrais.

$8 (\int_{1}^{0} - u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Etapa 9

Como $- 1$ é constante com relação a $u$ , mova $- 1$ para fora da integral.

$8 (- \int_{1}^{0} u^{2} d u + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Etapa 10

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{2}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{3} u^{3}$ .

$8 (- (\frac{1}{3} u^{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Etapa 11

Combine $\frac{1}{3}$ e $u^{3}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \int_{1}^{0} u^{4} d u)$

Etapa 12

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{4}$ com relação a $u$ é $\frac{1}{5} u^{5}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{1}{5} u^{5}]_{1}^{0})$

Etapa 13

Combine $\frac{1}{5}$ e $u^{5}$ .

$8 (- (\frac{u^{3}}{3}]_{1}^{0}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Etapa 14

Substitua e simplifique.

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Etapa 14.1

Avalie $\frac{u^{3}}{3}$ em $0$ e em $1$ .

$8 (- ((\frac{0^{3}}{3}) - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{u^{5}}{5}]_{1}^{0})$

Etapa 14.2

Avalie $\frac{u^{5}}{5}$ em $0$ e em $1$ .

$8 (- (\frac{0^{3}}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3

Simplifique.

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Etapa 14.3.1

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$8 (- (\frac{0}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.2

Cancele o fator comum de $0$ e $3$ .

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Etapa 14.3.2.1

Fatore $3$ de $0$ .

$8 (- (\frac{3 (0)}{3} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.2.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.3.2.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$8 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.2.2.2

Cancele o fator comum.

$8 (- (\frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.2.2.3

Reescreva a expressão.

$8 (- (\frac{0}{1} - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.2.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$8 (- (0 - \frac{1^{3}}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.3

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 (- (0 - \frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.4

Subtraia $\frac{1}{3}$ de $0$ .

$8 (- - \frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.5

Multiplique $- 1$ por $- 1$ .

$8 (1 (\frac{1}{3}) + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.6

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0^{5}}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.7

Elevar $0$ a qualquer potência positiva produz $0$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.8

Cancele o fator comum de $0$ e $5$ .

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Etapa 14.3.8.1

Fatore $5$ de $0$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 (0)}{5} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.8.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 14.3.8.2.1

Fatore $5$ de $5$ .

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.8.2.2

Cancele o fator comum.

$8 (\frac{1}{3} + \frac{5 \cdot 0}{5 \cdot 1} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.8.2.3

Reescreva a expressão.

$8 (\frac{1}{3} + \frac{0}{1} - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.8.2.4

Divida $0$ por $1$ .

$8 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1^{5}}{5})$

Etapa 14.3.9

Um elevado a qualquer potência é um.

$8 (\frac{1}{3} + 0 - \frac{1}{5})$

Etapa 14.3.10

Subtraia $\frac{1}{5}$ de $0$ .

$8 (\frac{1}{3} - \frac{1}{5})$

Etapa 14.3.11

Para escrever $\frac{1}{3}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{5}{5}$ .

$8 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5})$

Etapa 14.3.12

Para escrever $- \frac{1}{5}$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{1}{3} \cdot \frac{5}{5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 14.3.13

Escreva cada expressão com um denominador comum de $15$ , multiplicando cada um por um fator apropriado de $1$ .

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Etapa 14.3.13.1

Multiplique $\frac{1}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$8 (\frac{5}{3 \cdot 5} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 14.3.13.2

Multiplique $3$ por $5$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{1}{5} \cdot \frac{3}{3})$

Etapa 14.3.13.3

Multiplique $\frac{1}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{3}{5 \cdot 3})$

Etapa 14.3.13.4

Multiplique $5$ por $3$ .

$8 (\frac{5}{15} - \frac{3}{15})$

Etapa 14.3.14

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$8 \frac{5 - 3}{15}$

Etapa 14.3.15

Subtraia $3$ de $5$ .

$8 (\frac{2}{15})$

Etapa 14.3.16

Combine $8$ e $\frac{2}{15}$ .

$\frac{8 \cdot 2}{15}$

Etapa 14.3.17

Multiplique $8$ por $2$ .

$\frac{16}{15}$

Etapa 15

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{16}{15}$

Forma decimal:

$1.0\overline{6}$

Forma de número misto:

$1 \frac{1}{15}$

Etapa 16