Cálculo Exemplos

$\int \frac{\ln (8 x)}{x} d x$

Etapa 1

Deixe $u_{2} = \ln (8 x)$ . Depois, $d u_{2} = \frac{1}{x} d x$ , então, $x d u_{2} = d x$ . Reescreva usando $u_{2}$ e $d$ $u_{2}$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u_{2} = \ln (8 x)$ . Encontre $\frac{d u_{2}}{d x}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $\ln (8 x)$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (8 x)]$

Etapa 1.1.2

Diferencie usando a regra da cadeia, que determina que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ é $f' (g (x)) g' (x)$ , em que $f (x) = \ln (x)$ e $g (x) = 8 x$ .

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Etapa 1.1.2.1

Para aplicar a regra da cadeia, defina $u_{1}$ como $8 x$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 1.1.2.2

A derivada de $\ln (u_{1})$ em relação a $u_{1}$ é $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 1.1.2.3

Substitua todas as ocorrências de $u_{1}$ por $8 x$ .

$\frac{1}{8 x} \frac{d}{d x} [8 x]$

Etapa 1.1.3

Diferencie.

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Etapa 1.1.3.1

Como $8$ é constante em relação a $x$ , a derivada de $8 x$ em relação a $x$ é $8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{8 x} (8 \frac{d}{d x} [x])$

Etapa 1.1.3.2

Simplifique os termos.

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Etapa 1.1.3.2.1

Combine $8$ e $\frac{1}{8 x}$ .

$\frac{8}{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2.2

Cancele o fator comum de $8$ .

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Etapa 1.1.3.2.2.1

Cancele o fator comum.

$\frac{8}{8 x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.2.2.2

Reescreva a expressão.

$\frac{1}{x} \frac{d}{d x} [x]$

Etapa 1.1.3.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ é $n x^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$\frac{1}{x} \cdot 1$

Etapa 1.1.3.4

Multiplique $\frac{1}{x}$ por $1$ .

$\frac{1}{x}$

Etapa 1.2

Reescreva o problema usando $u_{2}$ e $d u_{2}$ .

$\int u_{2} d u_{2}$

Etapa 2

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u_{2}$ com relação a $u_{2}$ é $\frac{1}{2} {u_{2}}^{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{2}}^{2} + C$

Etapa 3

Substitua todas as ocorrências de $u_{2}$ por $\ln (8 x)$ .

$\frac{1}{2} \ln^{2} (8 x) + C$