Cálculo Exemplos

$\int \frac{1}{x^{2} \sqrt{4 - x^{2}}} d x$

Etapa 1

Deixe $x = 2 \sin (t)$ , em que $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ . Depois, $d x = 2 \cos (t) d t$ . Como $- \frac{π}{2} \leq t \leq \frac{π}{2}$ , $2 \cos (t)$ é positivo.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2

Simplifique os termos.

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Etapa 2.1

Simplifique $\sqrt{4 - {(2 \sin (t))}^{2}}$ .

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Etapa 2.1.1

Simplifique cada termo.

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Etapa 2.1.1.1

Aplique a regra do produto a $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (2^{2} \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.2

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - (4 \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.1.3

Multiplique $4$ por $- 1$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.2

Fatore $4$ de $4$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) - 4 \sin^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.3

Fatore $4$ de $- 4 \sin^{2} (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.4

Fatore $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (t))$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 (1 - \sin^{2} (t))}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.5

Aplique a identidade trigonométrica fundamental.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{4 \cos^{2} (t)}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.6

Reescreva $4 \cos^{2} (t)$ como ${(2 \cos (t))}^{2}$ .

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} \sqrt{{(2 \cos (t))}^{2}}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.1.7

Elimine os termos abaixo do radical, presumindo que sejam números reais positivos.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.2

Reduza a expressão cancelando os fatores comuns.

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Etapa 2.2.1

Cancele o fator comum de $2 \cos (t)$ .

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Etapa 2.2.1.1

Fatore $2 \cos (t)$ de ${(2 \sin (t))}^{2} (2 \cos (t))$ .

$\int \frac{1}{2 \cos (t) ({(2 \sin (t))}^{2})} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.1.2

Cancele o fator comum.

$\int \frac{1}{2 \cos (t) {(2 \sin (t))}^{2}} (2 \cos (t)) d t$

Etapa 2.2.1.3

Reescreva a expressão.

$\int \frac{1}{{(2 \sin (t))}^{2}} d t$

Etapa 2.2.2

Simplifique.

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Etapa 2.2.2.1

Fatore $2$ de $2 \sin (t)$ .

$\int \frac{1}{{(2 (\sin (t)))}^{2}} d t$

Etapa 2.2.2.2

Aplique a regra do produto a $2 (\sin (t))$ .

$\int \frac{1}{2^{2} \sin^{2} (t)} d t$

Etapa 2.2.2.3

Eleve $2$ à potência de $2$ .

$\int \frac{1}{4 \sin^{2} (t)} d t$

Etapa 3

Como $\frac{1}{4}$ é constante com relação a $t$ , mova $\frac{1}{4}$ para fora da integral.

$\frac{1}{4} \int \frac{1}{\sin^{2} (t)} d t$

Etapa 4

Converta de $\frac{1}{\sin^{2} (t)}$ em $\csc^{2} (t)$ .

$\frac{1}{4} \int \csc^{2} (t) d t$

Etapa 5

Como a derivada de $- \cot (t)$ é $\csc^{2} (t)$ , a integral de $\csc^{2} (t)$ é $- \cot (t)$ .

$\frac{1}{4} (- \cot (t) + C)$

Etapa 6

Simplifique.

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Etapa 6.1

Simplifique.

$\frac{1}{4} (- \cot (t)) + C$

Etapa 6.2

Combine $\frac{1}{4}$ e $\cot (t)$ .

$- \frac{\cot (t)}{4} + C$

Etapa 7

Substitua todas as ocorrências de $t$ por $\arcsin (\frac{x}{2})$ .

$- \frac{\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))}{4} + C$

Etapa 8

Simplifique.

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Etapa 8.1

Simplifique o numerador.

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Etapa 8.1.1

Desenhe um triângulo no plano com os vértices $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ , $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, 0)$ e a origem. Então, $\arcsin (\frac{x}{2})$ será o ângulo entre o eixo x positivo e o raio que começa na origem e cruza $(\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}}, \frac{x}{2})$ . Portanto, $\cot (\arcsin (\frac{x}{2}))$ é $\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}}}{\frac{x}{2}}}{4} + C$

Etapa 8.1.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- \frac{\sqrt{1 - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.3

Reescreva $1$ como $1^{2}$ .

$- \frac{\sqrt{1^{2} - {(\frac{x}{2})}^{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.4

Como os dois termos são quadrados perfeitos, fatore usando a fórmula da diferença de quadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ em que $a = 1$ e $b = \frac{x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{(1 + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.5

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{\sqrt{(\frac{2}{2} + \frac{x}{2}) (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.6

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (1 - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.7

Escreva $1$ como uma fração com um denominador comum.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} (\frac{2}{2} - \frac{x}{2})} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.8

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$- \frac{\sqrt{\frac{2 + x}{2} \cdot \frac{2 - x}{2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.9

Multiplique $\frac{2 + x}{2}$ por $\frac{2 - x}{2}$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{2 \cdot 2}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.10

Multiplique $2$ por $2$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.11

Reescreva $\frac{(2 + x) (2 - x)}{4}$ como ${(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))$ .

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Etapa 8.1.11.1

Fatore a potência perfeita $1^{2}$ de $(2 + x) (2 - x)$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{4}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.11.2

Fatore a potência perfeita $2^{2}$ de $4$ .

$- \frac{\sqrt{\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.11.3

Reorganize a fração $\frac{1^{2} ((2 + x) (2 - x))}{2^{2} \cdot 1}$ .

$- \frac{\sqrt{{(\frac{1}{2})}^{2} ((2 + x) (2 - x))} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.12

Elimine os termos abaixo do radical.

$- \frac{\frac{1}{2} \sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.13

Combine $\frac{1}{2}$ e $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.14

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 8.1.14.1

Cancele o fator comum.

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{2} \cdot \frac{2}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.14.2

Reescreva a expressão.

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)} \frac{1}{x}}{4} + C$

Etapa 8.1.15

Combine $\sqrt{(2 + x) (2 - x)}$ e $\frac{1}{x}$ .

$- \frac{\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}}{4} + C$

Etapa 8.2

Multiplique o numerador pelo inverso do denominador.

$- (\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x} \cdot \frac{1}{4}) + C$

Etapa 8.3

Multiplique $\frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x}$ por $\frac{1}{4}$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{x \cdot 4} + C$

Etapa 8.4

Mova $4$ para a esquerda de $x$ .

$- \frac{\sqrt{(2 + x) (2 - x)}}{4 x} + C$