Cálculo Exemplos

$\int_{0}^{7} \sqrt{y + 9} d y$

Etapa 1

Deixe $u = y + 9$ . Depois, $d u = d y$ . Reescreva usando $u$ e $d$ $u$ .

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Etapa 1.1

Deixe $u = y + 9$ . Encontre $\frac{d u}{d y}$ .

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Etapa 1.1.1

Diferencie $y + 9$ .

$\frac{d}{d y} [y + 9]$

Etapa 1.1.2

De acordo com a regra da soma, a derivada de $y + 9$ com relação a $y$ é $\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$ .

$\frac{d}{d y} [y] + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 1.1.3

Diferencie usando a regra da multiplicação de potências, que determina que $\frac{d}{d y} [y^{n}]$ é $n y^{n - 1}$ , em que $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d y} [9]$

Etapa 1.1.4

Como $9$ é constante em relação a $y$ , a derivada de $9$ em relação a $y$ é $0$ .

$1 + 0$

Etapa 1.1.5

Some $1$ e $0$ .

$1$

Etapa 1.2

Substitua o limite inferior por $y$ em $u = y + 9$ .

$u_{lower} = 0 + 9$

Etapa 1.3

Some $0$ e $9$ .

$u_{lower} = 9$

Etapa 1.4

Substitua o limite superior por $y$ em $u = y + 9$ .

$u_{upper} = 7 + 9$

Etapa 1.5

Some $7$ e $9$ .

$u_{upper} = 16$

Etapa 1.6

Os valores encontrados para $u_{lower}$ e $u_{upper}$ serão usados para avaliar a integral definida.

$u_{lower} = 9$

$u_{upper} = 16$

Etapa 1.7

Reescreva o problema usando $u$ , $d u$ e os novos limites de integração.

$\int_{9}^{16} \sqrt{u} d u$

Etapa 2

Use $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescrever $\sqrt{u}$ como $u^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{9}^{16} u^{\frac{1}{2}} d u$

Etapa 3

De acordo com a regra da multiplicação de potências, a integral de $u^{\frac{1}{2}}$ com relação a $u$ é $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}]_{9}^{16}$

Etapa 4

Substitua e simplifique.

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Etapa 4.1

Avalie $\frac{2}{3} u^{\frac{3}{2}}$ em $16$ e em $9$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 16^{\frac{3}{2}}) - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2

Simplifique.

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Etapa 4.2.1

Reescreva $16$ como $4^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(4^{2})}^{\frac{3}{2}} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.2

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.3.1

Cancele o fator comum.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{2 (\frac{3}{2})} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.3.2

Reescreva a expressão.

$\frac{2}{3} \cdot 4^{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.4

Eleve $4$ à potência de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 64 - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.5

Combine $\frac{2}{3}$ e $64$ .

$\frac{2 \cdot 64}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.6

Multiplique $2$ por $64$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 9^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.7

Reescreva $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Etapa 4.2.8

Aplique a regra da multiplicação de potências e multiplique os expoentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 4.2.9

Cancele o fator comum de $2$ .

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Etapa 4.2.9.1

Cancele o fator comum.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Etapa 4.2.9.2

Reescreva a expressão.

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 3^{3}$

Etapa 4.2.10

Eleve $3$ à potência de $3$ .

$\frac{128}{3} - \frac{2}{3} \cdot 27$

Etapa 4.2.11

Multiplique $27$ por $- 1$ .

$\frac{128}{3} - 27 (\frac{2}{3})$

Etapa 4.2.12

Combine $- 27$ e $\frac{2}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 27 \cdot 2}{3}$

Etapa 4.2.13

Multiplique $- 27$ por $2$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 54}{3}$

Etapa 4.2.14

Cancele o fator comum de $- 54$ e $3$ .

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Etapa 4.2.14.1

Fatore $3$ de $- 54$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3}$

Etapa 4.2.14.2

Cancele os fatores comuns.

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Etapa 4.2.14.2.1

Fatore $3$ de $3$ .

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 (1)}$

Etapa 4.2.14.2.2

Cancele o fator comum.

$\frac{128}{3} + \frac{3 \cdot - 18}{3 \cdot 1}$

Etapa 4.2.14.2.3

Reescreva a expressão.

$\frac{128}{3} + \frac{- 18}{1}$

Etapa 4.2.14.2.4

Divida $- 18$ por $1$ .

$\frac{128}{3} - 18$

Etapa 4.2.15

Para escrever $- 18$ como fração com um denominador comum, multiplique por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} - 18 \cdot \frac{3}{3}$

Etapa 4.2.16

Combine $- 18$ e $\frac{3}{3}$ .

$\frac{128}{3} + \frac{- 18 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.2.17

Combine os numeradores em relação ao denominador comum.

$\frac{128 - 18 \cdot 3}{3}$

Etapa 4.2.18

Simplifique o numerador.

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Etapa 4.2.18.1

Multiplique $- 18$ por $3$ .

$\frac{128 - 54}{3}$

Etapa 4.2.18.2

Subtraia $54$ de $128$ .

$\frac{74}{3}$

Etapa 5

O resultado pode ser mostrado de várias formas.

Forma exata:

$\frac{74}{3}$

Forma decimal:

$24.\overline{6}$

Forma de número misto:

$24 \frac{2}{3}$

Etapa 6